Encontre a série de Taylor da função dada por , centrada em . Qual é o seu raio de convergência? Justifique suas respostas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a série de Taylor da função , centrada em . Isso está dentro do conteúdo de séries de Taylor e, para resolver, vamos precisar entender como expandir uma função em série de potências e determinar seu raio de convergência.
Passo 2
Primeiro, lembremos que a série de Taylor de uma função centrada em é dada por:
Isso significa que precisamos calcular as derivadas de no ponto .
Passo 3
Vamos encontrar as derivadas de :
E assim por diante. Observamos que a -ésima derivada de é:
Passo 4
Agora, avaliamos essas derivadas em :
Em geral:
Passo 5
Substituindo esses valores na fórmula da série de Taylor:
Simplificando :
Passo 6
Agora, para encontrar o raio de convergência, usamos o critério da razão. Consideramos o limite: