Encontre a série de Taylor da função dada por , centrada em . Qual é o seu raio de convergência? Justifique suas respostas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a série de Taylor da função , centrada em . Isso está dentro do conteúdo de séries de Taylor e, para resolver, vamos precisar entender como expandir uma função em série de potências e determinar seu raio de convergência.

Passo 2

Primeiro, lembremos que a série de Taylor de uma função centrada em é dada por:
Isso significa que precisamos calcular as derivadas de no ponto .

Passo 3

Vamos encontrar as derivadas de :
E assim por diante. Observamos que a -ésima derivada de é:

Passo 4

Agora, avaliamos essas derivadas em :
Em geral:

Passo 5

Substituindo esses valores na fórmula da série de Taylor:
Simplificando :

Passo 6

Agora, para encontrar o raio de convergência, usamos o critério da razão. Consideramos o limite:
Onde . Calculando:
Para converger, esse limite deve ser menor que 1:
Então, o raio de convergência é 1.

Resposta

A série de Taylor de centrada em é:
E o raio de convergência dessa série é 1.

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