Considere uma partícula P no espaço, cuja trajetória no instante t é dada por r(t). Considere o vetorvelocidade v(t) = (t^3, e^(t-1), (t-1)/t), no instante t.
Como é a aceleração a(t), no instante t, da partícula P ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula que se move no espaço seguindo uma trajetória dada por . A velocidade dela no instante é representada pelo vetor . Nosso objetivo aqui é encontrar a aceleração dessa partícula no mesmo instante. Para isso, vamos precisar usar o conceito de derivada, já que a aceleração é basicamente a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo . Então, matematicamente, temos:
Isso significa que precisamos derivar cada componente do vetor velocidade em relação a .

Passo 3

Vamos começar derivando a primeira componente de , que é . A derivada de em relação a é . Aplicando isso:

Passo 4

Agora, vamos para a segunda componente: . A derivada de em relação a é multiplicado pela derivada de . Aqui, , cuja derivada é 1. Então:

Passo 5

Por fim, a terceira componente é . Vamos simplificar essa expressão antes de derivar:
Agora, derivando cada termo:
  • A derivada de 1 é 0.
  • A derivada de é .
Então:

Resposta

Juntando todas as derivadas que encontramos, a aceleração da partícula no instante é:

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