Considere uma partícula no estado fundamental de uma caixa rígida de comprimento
. (a) Encontre a densidade de probabilidade
. (b) Com base na resposta da letra (a), sem fazer integração, onde é mais provável que a partícula seja encontrada? © Qual é a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo entre
e
(d) Qual é a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo entre
e
? (e) Qual seria o valor médio da posição de uma partícula no estado fundamental se ela fosse medida várias vezes?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre uma partícula no estado fundamental de uma caixa rígida de comprimento
. A gente vai precisar de alguns conceitos de mecânica quântica, especialmente sobre a função de onda e a densidade de probabilidade. A função de onda
descreve o estado da partícula, e a densidade de probabilidade
nos diz onde a partícula tem mais chances de ser encontrada dentro da caixa.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a função de onda para o estado fundamental de uma partícula em uma caixa rígida. No estado fundamental, a função de onda é a mais simples, com apenas uma onda estacionária dentro da caixa. A fórmula geral para a função de onda no estado
é:
Para o estado fundamental,
, então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a densidade de probabilidade
. Isso é feito multiplicando a função de onda pela sua conjugada, que no caso real é apenas ela mesma:
Passo 4
Para a letra (b), sem precisar integrar, observamos onde a densidade de probabilidade
é máxima. A função
atinge seu valor máximo quando
. Isso ocorre quando:
Então, a probabilidade é maior no centro da caixa, em
.
Passo 5
Para calcular a probabilidade de encontrar a partícula em um intervalo específico, usamos a densidade de probabilidade
e multiplicamos pela largura do intervalo
.
Para a letra ©, o intervalo é de
a
. Então,
.
Avaliando em
(por exemplo):
Então, a probabilidade é aproximadamente
.
Passo 6
Para a letra (d), o intervalo é de
a
. Novamente,
.
Avaliando em
:
Então, a probabilidade é aproximadamente
.
Passo 7
Por fim, para a letra (e), queremos o valor médio da posição
. No estado fundamental de uma caixa simétrica, a função de onda é simétrica em relação ao centro da caixa (
). Isso significa que a partícula tem a mesma probabilidade de estar à esquerda e à direita do centro, então:
Resposta
(a) A densidade de probabilidade é
.
(b) É mais provável encontrar a partícula no centro da caixa, em
.
© A probabilidade de encontrar a partícula entre
e
é aproximadamente
.
(d) A probabilidade de encontrar a partícula entre
e
é aproximadamente
.
(e) O valor médio da posição da partícula no estado fundamental é
.