Considere uma partícula no estado fundamental de uma caixa rígida de comprimento a. (a) Encontre a densidade de probabilidade |psi|^2. (b) Com base na resposta da letra (a), sem fazer integração, onde é mais provável que a partícula seja encontrada? © Qual é a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo entre x=0,5 a e x=0,51 a (d) Qual é a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo entre x=0,75 a e x=0,76 a ? (e) Qual seria o valor médio da posição de uma partícula no estado fundamental se ela fosse medida várias vezes?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre uma partícula no estado fundamental de uma caixa rígida de comprimento a. A gente vai precisar de alguns conceitos de mecânica quântica, especialmente sobre a função de onda e a densidade de probabilidade. A função de onda psi(x) descreve o estado da partícula, e a densidade de probabilidade |psi(x)|^2 nos diz onde a partícula tem mais chances de ser encontrada dentro da caixa.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a função de onda para o estado fundamental de uma partícula em uma caixa rígida. No estado fundamental, a função de onda é a mais simples, com apenas uma onda estacionária dentro da caixa. A fórmula geral para a função de onda no estado n é:
psin(x) = raiz2a sin(npi xa)
Para o estado fundamental, n = 1, então:
psi(x) = raiz2a sin(pi xa)

Passo 3

Agora, vamos calcular a densidade de probabilidade |psi(x)|^2. Isso é feito multiplicando a função de onda pela sua conjugada, que no caso real é apenas ela mesma:
|psi(x)|^2 = (raiz2a sin(pi xa))^2 = 2a sin^2(pi xa)

Passo 4

Para a letra (b), sem precisar integrar, observamos onde a densidade de probabilidade |psi(x)|^2 é máxima. A função sin^2(pi xa) atinge seu valor máximo quando sin(pi xa) = pm1. Isso ocorre quando:
pi xa = pi2 Rightarrow x = a2
Então, a probabilidade é maior no centro da caixa, em x = a2.

Passo 5

Para calcular a probabilidade de encontrar a partícula em um intervalo específico, usamos a densidade de probabilidade |psi(x)|^2 e multiplicamos pela largura do intervalo De.
Para a letra ©, o intervalo é de x = 0,5a a x = 0,51a. Então, De.
P = |psi(x)|^2 cdot De
Avaliando em x = 0,505a (por exemplo):
P approx 2 sin^2(pi cdot 0,505) cdot 0,01 approx 2 sin^2(1,59) cdot 0,01 approx 2 cdot 1 cdot 0,01 = 0,02
Então, a probabilidade é aproximadamente 2%.

Passo 6

Para a letra (d), o intervalo é de x = 0,75a a x = 0,76a. Novamente, De.
P = 2a sin^2(pi xa) cdot 0,01a = 2 sin^2(pi x / a) cdot 0,01
Avaliando em x = 0,755a:
P approx 2 sin^2(pi cdot 0,755) cdot 0,01 approx 2 sin^2(2,37) cdot 0,01 approx 2 cdot 0,6 cdot 0,01 = 0,012
Então, a probabilidade é aproximadamente 1,2%.

Passo 7

Por fim, para a letra (e), queremos o valor médio da posição lang<= x rang<=. No estado fundamental de uma caixa simétrica, a função de onda é simétrica em relação ao centro da caixa ( x = a2). Isso significa que a partícula tem a mesma probabilidade de estar à esquerda e à direita do centro, então:
lang<= x rang<= = a2

Resposta

(a) A densidade de probabilidade é |psi(x)|^2 = 2a sin^2(pi xa).
(b) É mais provável encontrar a partícula no centro da caixa, em x = a2.
© A probabilidade de encontrar a partícula entre x = 0,5a e x = 0,51a é aproximadamente 2%.
(d) A probabilidade de encontrar a partícula entre x = 0,75a e x = 0,76a é aproximadamente 1,2%.
(e) O valor médio da posição da partícula no estado fundamental é lang<= x rang<= = a2.

Exercícios relacionados