Considere uma partícula no estado fundamental de uma caixa rígida de comprimento . (a) Encontre a densidade de probabilidade . (b) Com base na resposta da letra (a), sem fazer integração, onde é mais provável que a partícula seja encontrada? © Qual é a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo entre e (d) Qual é a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo entre e ? (e) Qual seria o valor médio da posição de uma partícula no estado fundamental se ela fosse medida várias vezes?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre uma partícula no estado fundamental de uma caixa rígida de comprimento . A gente vai precisar de alguns conceitos de mecânica quântica, especialmente sobre a função de onda e a densidade de probabilidade. A função de onda descreve o estado da partícula, e a densidade de probabilidade nos diz onde a partícula tem mais chances de ser encontrada dentro da caixa.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a função de onda para o estado fundamental de uma partícula em uma caixa rígida. No estado fundamental, a função de onda é a mais simples, com apenas uma onda estacionária dentro da caixa. A fórmula geral para a função de onda no estado é:
Para o estado fundamental, , então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a densidade de probabilidade . Isso é feito multiplicando a função de onda pela sua conjugada, que no caso real é apenas ela mesma:

Passo 4

Para a letra (b), sem precisar integrar, observamos onde a densidade de probabilidade é máxima. A função atinge seu valor máximo quando . Isso ocorre quando:
Então, a probabilidade é maior no centro da caixa, em .

Passo 5

Para calcular a probabilidade de encontrar a partícula em um intervalo específico, usamos a densidade de probabilidade e multiplicamos pela largura do intervalo .
Para a letra ©, o intervalo é de a . Então, .
Avaliando em (por exemplo):
Então, a probabilidade é aproximadamente .

Passo 6

Para a letra (d), o intervalo é de a . Novamente, .
Avaliando em :
Então, a probabilidade é aproximadamente .

Passo 7

Por fim, para a letra (e), queremos o valor médio da posição . No estado fundamental de uma caixa simétrica, a função de onda é simétrica em relação ao centro da caixa ( ). Isso significa que a partícula tem a mesma probabilidade de estar à esquerda e à direita do centro, então:

Resposta

(a) A densidade de probabilidade é .
(b) É mais provável encontrar a partícula no centro da caixa, em .
© A probabilidade de encontrar a partícula entre e é aproximadamente .
(d) A probabilidade de encontrar a partícula entre e é aproximadamente .
(e) O valor médio da posição da partícula no estado fundamental é .

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