Considere uma partícula livre que se movimenta da esquerda para a direita, numa região de potencial nulo, até encontrar um degrau de potencial de altura U0. Considere que a partícula tem energia maior que a altura do degrau, ou seja, E>U0. Mostre que a probabilidade de encontrar a partícula na região do degrau, onde U=U0, é constante. Esboce o gráfico da densidade de probabilidade em função da posição em todo o espaço.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula que se move da esquerda para a direita em uma região onde o potencial é zero. Ela encontra um degrau de potencial com altura e a energia da partícula é maior que . Precisamos mostrar que a probabilidade de encontrar a partícula na região do degrau (onde ) é constante. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica, como funções de onda e densidade de probabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função de onda descreve o estado quântico da partícula. A densidade de probabilidade é dada por e nos diz a probabilidade de encontrar a partícula em uma posição específica.

Passo 3

Como temos duas regiões com potenciais diferentes ( e ), a função de onda vai ter formas diferentes em cada uma delas. Para (antes do degrau), o potencial é zero, e para (no degrau), o potencial é .

Passo 4

Vamos escrever a equação de Schrödinger independente do tempo para cada região:
Para - hbar^22m d^2 psidx^2 = E psi :
psi1(x) = A e^ikx + B e^-ikx
A solução geral é uma combinação de ondas planejar:
- hbar^22m d^2 psidx^2 + U0 psi = E psi
onde - hbar^22m d^2 psidx^2 = (E - U0) psi .
Para psi2(x) = C e^ik'x + D e^-ik'x :
Simplificando:
A solução também é uma combinação de ondas planejar:
onde .

Passo 5

Para garantir que a função de onda seja física, precisamos que ela seja contínua em e que sua derivada também seja contínua. Isso nos dá condições de contorno que relacionam os coeficientes e .

Passo 6

Aplicando as condições de continuidade:
psi1(0) = psi2(0) Rightarrow A + B = C + D
psi1'(0) = psi2'(0) Rightarrow ikA - ikB = ik'C - ik'D
Resolvendo esse sistema, geralmente encontramos que (assumindo que não há onda vindo de ).

Passo 7

Com psi2(x) = C e^ik'x , a função de onda na região do degrau simplifica para:
|psi2(x)|^2 = |C|^2
A densidade de probabilidade nessa região é:
Isso mostra que a densidade de probabilidade é constante para .

Resposta

A probabilidade de encontrar a partícula na região do degrau é constante e igual a .

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