Considere uma partícula livre que se movimenta da esquerda para a direita, numa região de potencial nulo, até encontrar um degrau de potencial de altura
. Considere que a partícula tem energia maior que a altura do degrau, ou seja,
. Mostre que a probabilidade de encontrar a partícula na região do degrau, onde
, é constante. Esboce o gráfico da densidade de probabilidade em função da posição em todo o espaço.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula que se move da esquerda para a direita em uma região onde o potencial é zero. Ela encontra um degrau de potencial com altura
e a energia da partícula
é maior que
. Precisamos mostrar que a probabilidade de encontrar a partícula na região do degrau (onde
) é constante. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica, como funções de onda e densidade de probabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função de onda
descreve o estado quântico da partícula. A densidade de probabilidade é dada por
e nos diz a probabilidade de encontrar a partícula em uma posição
específica.
Passo 3
Como temos duas regiões com potenciais diferentes (
e
), a função de onda vai ter formas diferentes em cada uma delas. Para
(antes do degrau), o potencial é zero, e para
(no degrau), o potencial é
.
Passo 4
Vamos escrever a equação de Schrödinger independente do tempo para cada região:
Para
:
A solução geral é uma combinação de ondas planejar:
onde
.
Para
:
Simplificando:
A solução também é uma combinação de ondas planejar:
onde
.
Passo 5
Para garantir que a função de onda seja física, precisamos que ela seja contínua em
e que sua derivada também seja contínua. Isso nos dá condições de contorno que relacionam os coeficientes
e
.
Passo 6
Aplicando as condições de continuidade:
Resolvendo esse sistema, geralmente encontramos que
(assumindo que não há onda vindo de
).
Passo 7
Com
, a função de onda na região do degrau simplifica para:
A densidade de probabilidade nessa região é:
Isso mostra que a densidade de probabilidade é constante para
.
Resposta
A probabilidade de encontrar a partícula na região do degrau
é constante e igual a
.
Exercícios relacionados
Para qualquer autofunção
do poço quadrado infinito, mostre que
e que
onde
é a largura do poço.
Uma partícula limitada ao eixo
tem a função de onda
entre
e
; e
em outro lugar. (a) Encontre a probabilidade de que a partícula possa ser encontrada entre
e
. (b) Encontre o valor esperado
da posição da partícula.
Uma bolinha de tênis de massa 40 g segue rolando pelo chão com uma velocidade de 1,0
quando atinge um pedaço de vidro vertical de
de altura. Sabendo-se que a espessura do vidro é
e que ele não quebrou com o impacto, qual a probabilidade da bolinha tunelar pelo vidro e passar para o outro lado? Considere a aceleração da gravidade
. (Caso sua calculadora não consiga calcular algum dos passos, isso é devido ao surgimento de valores maiores do que ela consegue administrar. Nesses casos, apresente o momento exato em que isso aconteceu e conclua, por lógica, como será o resultado para o valor de
)
Considere uma partícula no estado fundamental de uma caixa rígida de comprimento
. (a) Encontre a densidade de probabilidade
. (b) Com base na resposta da letra (a), sem fazer integração, onde é mais provável que a partícula seja encontrada? © Qual é a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo entre
e
(d) Qual é a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo entre
e
? (e) Qual seria o valor médio da posição de uma partícula no estado fundamental se ela fosse medida várias vezes?