Para qualquer autofunção psin do poço quadrado infinito, mostre que lang<= xrang<==L / 2 e que
lang<= x^2rang<==L^23-L^22(n pi)^2
onde L é a largura do poço.

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver um exercício de mecânica quântica, especificamente sobre o poço quadrado infinito. A questão pede para mostrar que, para qualquer autofunção desse poço, o valor esperado de , , é igual a e que é igual a . Para isso, vamos precisar usar conceitos de autofunções, valores esperados e integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa o valor esperado lang<= x rang<= = integral0^L psin^*(x) , x , psin(x) , dx . Ele representa a média ponderada da posição lang<= x rang<= = L2 para a função de onda . A fórmula para calcular isso é:
No caso do poço quadrado infinito, as autofunções são reais, então . Além disso, essas funções são simétricas em relação ao centro do poço, que é . Devido a essa simetria, a média de vai exatamente para o meio do poço.
Portanto:

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor esperado de lang<= x^2 rang<= = integral0^L psin^*(x) , x^2 , psin(x) , dx , ou seja, psin(x) = raiz2L sin(npi xL) . A fórmula é similar:
lang<= x^2 rang<= = 2L integral0^L x^2 sin^2(npi xL) dx
Substituindo a expressão da autofunção do poço quadrado infinito, que é:
A integral fica:

Passo 4

Vamos resolver a integral:
integral0^L x^2 sin^2(npi xL) dx
Usando a identidade trigonométrica 12 integral0^L x^2 (1 - cos(2npi xL)) dx , a integral fica:
12 [ integral0^L x^2 dx - integral0^L x^2 cos(2npi xL) dx ]
Isso se divide em duas integrais:
integral0^L x^2 dx = L^33
A primeira integral é simples:
integral0^L x^2 cos(2npi xL) dx = L^32(npi)^2
Para a segunda integral, usamos a fórmula de integração por partes e resolvemos, resultando em termos que cancelam ou simplificam. Após os cálculos, encontramos:

Passo 5

Substituindo de volta na expressão para lang<= x^2 rang<= = 2L cdot 12 ( L^33 - L^32(npi)^2 ) = L^23 - L^22(npi)^2 :

Resposta

Portanto, mostramos que:
lang<= x rang<= = L2 e lang<= x^2 rang<= = L^23 - L^22(npi)^2

Exercícios relacionados