Para qualquer autofunção
do poço quadrado infinito, mostre que
e que
onde
é a largura do poço.
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver um exercício de mecânica quântica, especificamente sobre o poço quadrado infinito. A questão pede para mostrar que, para qualquer autofunção
desse poço, o valor esperado de
,
, é igual a
e que
é igual a
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de autofunções, valores esperados e integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa o valor esperado
. Ele representa a média ponderada da posição
para a função de onda
. A fórmula para calcular isso é:
No caso do poço quadrado infinito, as autofunções
são reais, então
. Além disso, essas funções são simétricas em relação ao centro do poço, que é
. Devido a essa simetria, a média de
vai exatamente para o meio do poço.
Portanto:
Passo 3
Agora, vamos calcular o valor esperado de
, ou seja,
. A fórmula é similar:
Substituindo a expressão da autofunção
do poço quadrado infinito, que é:
A integral fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral:
Usando a identidade trigonométrica
, a integral fica:
Isso se divide em duas integrais:
A primeira integral é simples:
Para a segunda integral, usamos a fórmula de integração por partes e resolvemos, resultando em termos que cancelam ou simplificam. Após os cálculos, encontramos:
Passo 5
Substituindo de volta na expressão para
:
Resposta
Portanto, mostramos que: