Para qualquer autofunção do poço quadrado infinito, mostre que e que
onde é a largura do poço.

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver um exercício de mecânica quântica, especificamente sobre o poço quadrado infinito. A questão pede para mostrar que, para qualquer autofunção desse poço, o valor esperado de , , é igual a e que é igual a . Para isso, vamos precisar usar conceitos de autofunções, valores esperados e integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa o valor esperado . Ele representa a média ponderada da posição para a função de onda . A fórmula para calcular isso é:
No caso do poço quadrado infinito, as autofunções são reais, então . Além disso, essas funções são simétricas em relação ao centro do poço, que é . Devido a essa simetria, a média de vai exatamente para o meio do poço.
Portanto:

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor esperado de , ou seja, . A fórmula é similar:
Substituindo a expressão da autofunção do poço quadrado infinito, que é:
A integral fica:

Passo 4

Vamos resolver a integral:
Usando a identidade trigonométrica , a integral fica:
Isso se divide em duas integrais:
A primeira integral é simples:
Para a segunda integral, usamos a fórmula de integração por partes e resolvemos, resultando em termos que cancelam ou simplificam. Após os cálculos, encontramos:

Passo 5

Substituindo de volta na expressão para :

Resposta

Portanto, mostramos que:

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