Uma partícula limitada ao eixo tem a função de onda entre e ; e em outro lugar. (a) Encontre a probabilidade de que a partícula possa ser encontrada entre e . (b) Encontre o valor esperado da posição da partícula.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos uma partícula que só pode se mover no eixo com a função de onda entre e , e em qualquer outro lugar. Precisamos fazer duas coisas:
  1. Encontrar a probabilidade de a partícula estar entre e .
  2. Calcular o valor esperado da posição da partícula.
Para resolver isso, vamos precisar normalizar a função de onda e usar as fórmulas de probabilidade e valor esperado da mecânica quântica.

Passo 2

Primeiro, vamos normalizar a função de onda. Normalizar significa ajustar de modo que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja 1. A condição de normalização é:
Como fora de , a integral fica:

Passo 3

Vamos calcular essa integral para encontrar :
Resolvendo para :

Passo 4

Agora que sabemos que , podemos escrever a função de onda normalizada:
E fora desse intervalo.

Passo 5

Vamos para a parte (a): encontrar a probabilidade de a partícula estar entre e . A probabilidade é dada por:

Passo 6

Calculando a integral:
Vamos calcular os valores numéricos:
Então:

Passo 7

Agora, para a parte (b): encontrar o valor esperado . A fórmula para o valor esperado é:
Novamente, como fora de , a integral fica:

Passo 8

Calculando a integral:

Resposta

(a) A probabilidade de encontrar a partícula entre e é aproximadamente ou .
(b) O valor esperado da posição da partícula é .

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