Uma partícula limitada ao eixo x tem a função de onda psi(x)=a x entre x=0 e x=1; e psi(x)=0 em outro lugar. (a) Encontre a probabilidade de que a partícula possa ser encontrada entre x=0,45 e x=0,55. (b) Encontre o valor esperado lang<= xrang<= da posição da partícula.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos uma partícula que só pode se mover no eixo com a função de onda entre e , e em qualquer outro lugar. Precisamos fazer duas coisas:
  1. Encontrar a probabilidade de a partícula estar entre e .
  2. Calcular o valor esperado da posição da partícula.
Para resolver isso, vamos precisar normalizar a função de onda e usar as fórmulas de probabilidade e valor esperado da mecânica quântica.

Passo 2

Primeiro, vamos normalizar a função de onda. Normalizar significa ajustar integral-infty^+infty |psi(x)|^2 , dx = 1 de modo que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja 1. A condição de normalização é:
integral0^1 (a x)^2 , dx = 1
Como fora de , a integral fica:

Passo 3

Vamos calcular essa integral para encontrar integral0^1 a^2 x^2 , dx = a^2 integral0^1 x^2 , dx = a^2 [ x^33 ]0^1 = a^2 ( 13 - 0 ) = a^23 = 1 :
a^2 = 3 implies a = raiz3
Resolvendo para :

Passo 4

Agora que sabemos que psi(x) = raiz3 , x para 0 <= x <= 1 , podemos escrever a função de onda normalizada:
E fora desse intervalo.

Passo 5

Vamos para a parte (a): encontrar a probabilidade de a partícula estar entre P = integral0,45^0,55 |psi(x)|^2 , dx = integral0,45^0,55 (raiz3 , x)^2 , dx = 3 integral0,45^0,55 x^2 , dx e . A probabilidade é dada por:

Passo 6

Calculando a integral:
3 integral0,45^0,55 x^2 , dx = 3 [ x^33 ]0,45^0,55 = [ x^3 ]0,45^0,55 = (0,55)^3 - (0,45)^3
Vamos calcular os valores numéricos:
(0,55)^3 = 0,166375 (0,45)^3 = 0,091125
Então:
P = 0,166375 - 0,091125 = 0,07525

Passo 7

Agora, para a parte (b): encontrar o valor esperado lang<= x rang<= = integral-infty^+infty x |psi(x)|^2 , dx . A fórmula para o valor esperado é:
lang<= x rang<= = integral0^1 x (raiz3 , x)^2 , dx = 3 integral0^1 x^3 , dx
Novamente, como fora de , a integral fica:

Passo 8

Calculando a integral:
3 integral0^1 x^3 , dx = 3 [ x^44 ]0^1 = 3 ( 14 - 0 ) = 34 = 0,75

Resposta

(a) A probabilidade de encontrar a partícula entre e é aproximadamente ou .
(b) O valor esperado da posição da partícula é .

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