Uma partícula limitada ao eixo
tem a função de onda
entre
e
; e
em outro lugar. (a) Encontre a probabilidade de que a partícula possa ser encontrada entre
e
. (b) Encontre o valor esperado
da posição da partícula.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos uma partícula que só pode se mover no eixo
com a função de onda
entre
e
, e
em qualquer outro lugar. Precisamos fazer duas coisas:
- Encontrar a probabilidade de a partícula estar entre
e . - Calcular o valor esperado
da posição da partícula.
Para resolver isso, vamos precisar normalizar a função de onda e usar as fórmulas de probabilidade e valor esperado da mecânica quântica.
Passo 2
Primeiro, vamos normalizar a função de onda. Normalizar significa ajustar
de modo que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja 1. A condição de normalização é:
Como
fora de
, a integral fica:
Passo 3
Vamos calcular essa integral para encontrar
:
Resolvendo para
:
Passo 4
Agora que sabemos que
, podemos escrever a função de onda normalizada:
E
fora desse intervalo.
Passo 5
Vamos para a parte (a): encontrar a probabilidade de a partícula estar entre
e
. A probabilidade
é dada por:
Passo 6
Calculando a integral:
Vamos calcular os valores numéricos:
Então:
Passo 7
Agora, para a parte (b): encontrar o valor esperado
. A fórmula para o valor esperado é:
Novamente, como
fora de
, a integral fica:
Passo 8
Calculando a integral:
Resposta
(a) A probabilidade de encontrar a partícula entre
e
é aproximadamente
ou
.
(b) O valor esperado
da posição da partícula é
.