Uma partícula limitada ao eixo
tem a função de onda
entre
e
; e
em outro lugar. (a) Encontre a probabilidade de que a partícula possa ser encontrada entre
e
. (b) Encontre o valor esperado
da posição da partícula.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos uma partícula que só pode se mover no eixo
com a função de onda
entre
e
, e
em qualquer outro lugar. Precisamos fazer duas coisas:
- Encontrar a probabilidade de a partícula estar entre
e . - Calcular o valor esperado
da posição da partícula.
Para resolver isso, vamos precisar normalizar a função de onda e usar as fórmulas de probabilidade e valor esperado da mecânica quântica.
Passo 2
Primeiro, vamos normalizar a função de onda. Normalizar significa ajustar
de modo que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja 1. A condição de normalização é:
Como
fora de
, a integral fica:
Passo 3
Vamos calcular essa integral para encontrar
:
Resolvendo para
:
Passo 4
Agora que sabemos que
, podemos escrever a função de onda normalizada:
E
fora desse intervalo.
Passo 5
Vamos para a parte (a): encontrar a probabilidade de a partícula estar entre
e
. A probabilidade
é dada por:
Passo 6
Calculando a integral:
Vamos calcular os valores numéricos:
Então:
Passo 7
Agora, para a parte (b): encontrar o valor esperado
. A fórmula para o valor esperado é:
Novamente, como
fora de
, a integral fica:
Passo 8
Calculando a integral:
Resposta
(a) A probabilidade de encontrar a partícula entre
e
é aproximadamente
ou
.
(b) O valor esperado
da posição da partícula é
.
Exercícios relacionados
Determine (a)
; (b)
para o segundo estado excitado
de um poço quadrado infinito.
Villate-1-2:A soma dos valores de duas cargas pontuais
e
é
. Quando estão afastadas
entre si, o módulo da força exercida por cada uma delas sobre a outra é
. Determine os valores de
e
, se: (b) Uma das cargas é positiva e a outra negativa.
Para qualquer autofunção
do poço quadrado infinito, mostre que
e que
onde
é a largura do poço.
Considere uma partícula livre que se movimenta da esquerda para a direita, numa região de potencial nulo, até encontrar um degrau de potencial de altura
. Considere que a partícula tem energia maior que a altura do degrau, ou seja,
. Mostre que a probabilidade de encontrar a partícula na região do degrau, onde
, é constante. Esboce o gráfico da densidade de probabilidade em função da posição em todo o espaço.