Considere uma partícula de massa no poço assimétrico descrito pelo potencial:
encontre a equação transcedental cuja solução corresponde às energias permitidas desse sistema.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma partícula de massa num poço de potencial assimétrico definido por:
Nosso objetivo é encontrar a equação transcendente que determina as energias permitidas para essa partícula. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica como a equação de Schrödinger e condições de contorno para garantir que a função de onda seja física.
Passo 2
Vamos dividir o problema em três regiões, de acordo com o potencial :
Região I (): Aqui, o potencial é infinito. Isso significa que a partícula não pode existir nessa região, então a função de onda .
Região II (): O potencial é zero. A equação de Schrödinger se simplifica para:
Rearranjando, temos:
onde .
A solução geral é:
Regi��o III (): O potencial é . A equação de Schrödinger fica:
Rearranjando:
onde .
A solução que decai para é:
Passo 3
Agora, aplicamos as condições de contorno para garantir que a função de onda e sua derivada sejam contínuas em :
Continuidade da função de onda:
Continuidade da derivada da função de onda:
Passo 4
Para simplificar, podemos eliminar dividindo as duas equações:
Depois de alguns arranjos algébricos, chegamos à relação que envolve apenas e :
Substituindo e , obtemos a equação transcendente:
Resposta
A equação transcendente para as energias permitidas é: