Considere uma partícula de massa no poço assimétrico descrito pelo potencial:
encontre a equação transcedental cuja solução corresponde às energias permitidas desse sistema.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma partícula de massa num poço de potencial assimétrico definido por:
Nosso objetivo é encontrar a equação transcendente que determina as energias permitidas para essa partícula. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica como a equação de Schrödinger e condições de contorno para garantir que a função de onda seja física.

Passo 2

Vamos dividir o problema em três regiões, de acordo com o potencial :
  1. Região I ( ): Aqui, o potencial é infinito. Isso significa que a partícula não pode existir nessa região, então a função de onda .
  2. Região II ( ): O potencial é zero. A equação de Schrödinger se simplifica para:
Rearranjando, temos:
onde .
A solução geral é:
  1. Regi��o III ( ): O potencial é . A equação de Schrödinger fica:
Rearranjando:
onde .
A solução que decai para é:

Passo 3

Agora, aplicamos as condições de contorno para garantir que a função de onda e sua derivada sejam contínuas em :
  1. Continuidade da função de onda:
  1. Continuidade da derivada da função de onda:

Passo 4

Para simplificar, podemos eliminar dividindo as duas equações:
Depois de alguns arranjos algébricos, chegamos à relação que envolve apenas e :
Substituindo e , obtemos a equação transcendente:

Resposta

A equação transcendente para as energias permitidas é:

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Dado a função de onda:
e .
b) Qual o valor médio de posição?
Dado o estado:
com uma base ortonormal.
a) Obtenha o coeficiente de normalização .
Dado o vetor de estado normalizado:
com
c) Dado o operador , qual o valor médio desse operador no estado ?
Dado a função de onda:
e .
a) Encontre a normalização dessa função de onda