Considere uma partícula de massa no poço assimétrico descrito pelo potencial:
encontre a equação transcedental cuja solução corresponde às energias permitidas desse sistema.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma partícula de massa V(x) = infty, & se x <= 0 0, & se 0 < x <= L V0, & se x > L num poço de potencial assimétrico definido por:
Nosso objetivo é encontrar a equação transcendente que determina as energias permitidas para essa partícula. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica como a equação de Schrödinger e condições de contorno para garantir que a função de onda seja física.
Passo 2
Vamos dividir o problema em três regiões, de acordo com o potencial -hbar^22m d^2 psidx^2 = E psi :
Região I ( d^2 psidx^2 + k^2 psi = 0 ): Aqui, o potencial é infinito. Isso significa que a partícula não pode existir nessa região, então a função de onda psiII(x) = A sin(kx) + B cos(kx) .
Região II ( -hbar^22m d^2 psidx^2 + V0 psi = E psi ): O potencial é zero. A equação de Schrödinger se simplifica para:
d^2 psidx^2 = kappa^2 psi
Rearranjando, temos:
psiIII(x) = C e^-kappa x
onde .
A solução geral é:
Regi��o III (): O potencial é . A equação de Schrödinger fica:
Rearranjando:
onde .
A solução que decai para é:
Passo 3
Agora, aplicamos as condições de contorno para garantir que a função de onda e sua derivada sejam contínuas em psiII(L) = psiIII(L) :
Continuidade da função de onda:
A sin(kL) + B cos(kL) = C e^-kappa L
psi'II(L) = psi'III(L)
Continuidade da derivada da função de onda:
A k cos(kL) - B k sin(kL) = -C kappa e^-kappa L
Passo 4
Para simplificar, podemos eliminar A sin(kL) + B cos(kL)A k cos(kL) - B k sin(kL) = C e^-kappa L-C kappa e^-kappa L = -1kappa dividindo as duas equações:
k tan(kL) = kappa
Depois de alguns arranjos algébricos, chegamos à relação que envolve apenas raiz2mEhbar^2 tan( L raiz2mEhbar^2 ) = raiz2m(V0 - E)hbar^2 e :
Substituindo e , obtemos a equação transcendente:
Resposta
A equação transcendente para as energias permitidas é:
raiz2mEhbar^2 tan( L raiz2mEhbar^2 ) = raiz2m(V0 - E)hbar^2