Dado o vetor de estado normalizado:
|psirang<==1raiz2|0rang<=+c1|1rang<=
com c1 equiv|c1| e^i theta
c) Dado o operador sigma2=-i|0rang<=lang<= 1|+i|1rang<=lang<= 0|, qual o valor médio desse operador no estado |psirang<= ?

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um vetor de estado normalizado , onde . Queremos descobrir o valor médio do operador nesse estado. Para isso, vamos precisar entender como calcular o valor esperado de um operador em um estado quântico, usando produto interno e propriedades dos operadores.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa o valor médio (ou valor esperado) de um operador. Se temos um operador lang<= O rang<= = lang<= psi | O | psi rang<= e um estado quântico , o valor médio é dado por:
Isso envolve calcular o produto interno do estado com o operador agindo sobre .

Passo 3

Vamos aplicar isso ao nosso caso específico. Temos:
lang<= sigma2 rang<= = lang<= psi | sigma2 | psi rang<=
Primeiro, vamos escrever |psirang<= = 1raiz2|0rang<= + c1|1rang<= e lang<= psi | = 1raiz2lang<= 0| + c1^*lang<= 1| :
Onde é o conjugado complexo de , ou seja, .

Passo 4

Agora, vamos multiplicar lang<= sigma2 rang<= = ( 1raiz2lang<= 0| + c1^*lang<= 1| ) ( -i|0rang<=lang<= 1| + i|1rang<=lang<= 0| ) ( 1raiz2|0rang<= + c1|1rang<= ) pelo operador e depois por :
Vamos distribuir os termos para facilitar a multiplicação.

Passo 5

Distribuindo os termos, temos quatro multiplicações:
1raiz2 lang<= 0| (-i|0rang<=lang<= 1|) 1raiz2|0rang<= + 1raiz2 lang<= 0| (-i|0rang<=lang<= 1|) c1|1rang<=
+ 1raiz2 lang<= 0| (i|1rang<=lang<= 0|) 1raiz2|0rang<= + 1raiz2 lang<= 0| (i|1rang<=lang<= 0|) c1|1rang<=
+ c1^* lang<= 1| (-i|0rang<=lang<= 1|) 1raiz2|0rang<= + c1^* lang<= 1| (-i|0rang<=lang<= 1|) c1|1rang<=
+ c1^* lang<= 1| (i|1rang<=lang<= 0|) 1raiz2|0rang<= + c1^* lang<= 1| (i|1rang<=lang<= 0|) c1|1rang<=

Passo 6

Agora, vamos simplificar cada termo. Lembre-se de que lang<= sigma2 rang<= = 1raiz2 cdot (-i) cdot c1 cdot 1raiz2 cdot lang<= 0|1 rang<= + 1raiz2 cdot i cdot c1 cdot 1raiz2 cdot lang<= 1|0 rang<= é zero a menos que + c1^* cdot (-i) cdot 1raiz2 cdot lang<= 1|0 rang<= + c1^* cdot i cdot c1 cdot 1raiz2 cdot lang<= 1|0 rang<= = 0 :
  1. , mas
  2. , e assim por diante
Após simplificar, muitos termos desaparecem:
Todos os termos contêm ou , que são zero. Portanto, o valor médio é zero.

Resposta

O valor médio do operador no estado é zero.

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