Dado a função de onda:
psi(x)=N sin (k x) e^-lambda x
com lambda>0 e k in R.
a) Encontre a normalização dessa função de onda

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de onda dada por:
psi(x) = N sin(k x) e^-lambda x
e queremos encontrar o valor de que faz essa função ser “normalizada”. Isso significa que a probabilidade total de encontrar a partícula em qualquer lugar é igual a 1. Para isso, vamos usar o conceito de normalização de funções de onda da mecânica quântica.

Passo 2

Primeiro, a gente sabe que para normalizar a função de onda, precisamos que:
integral-infty^+infty |psi(x)|^2 dx = 1
Mas, olhando para a nossa função integral0^+infty |psi(x)|^2 dx = 1 , vemos que o termo com faz com que seja praticamente zero para . Então, podemos simplificar a integral para:

Passo 3

Vamos substituir integral0^+infty |N sin(k x) e^-lambda x|^2 dx = 1 na integral:
N^2 integral0^+infty sin^2(k x) e^-2lambda x dx = 1
Como é uma constante e estamos lidando com o módulo ao quadrado, fica:

Passo 4

Agora, precisamos resolver a integral:
integral0^+infty sin^2(k x) e^-2lambda x dx
Para isso, vamos usar a identidade trigonométrica:
sin^2(k x) = 1 - cos(2k x)2
Substituindo na integral:
integral0^+infty 1 - cos(2k x)2 e^-2lambda x dx = 12 ( integral0^+infty e^-2lambda x dx - integral0^+infty cos(2k x) e^-2lambda x dx )

Passo 5

Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeira integral:
integral0^+infty e^-2lambda x dx = 12lambda
Segunda integral:
integral0^+infty cos(2k x) e^-2lambda x dx = 2lambda4lambda^2 + 4k^2 = lambda2lambda^2 + 2k^2

Passo 6

Substituindo os resultados na expressão anterior:
12 ( 12lambda - lambda2lambda^2 + 2k^2 ) = 14lambda - lambda4lambda^2 + 4k^2 = 14lambda (1 - lambda^2lambda^2 + k^2)
Simplificando:
14lambda cdot k^2lambda^2 + k^2 = k^24lambda(lambda^2 + k^2)

Passo 7

Voltando à equação de normalização:
N^2 cdot k^24lambda(lambda^2 + k^2) = 1
Resolvendo para N^2 = 4lambda(lambda^2 + k^2)k^2 :
N = raiz4lambda(lambda^2 + k^2)k^2 = 2raizlambda(lambda^2 + k^2)k
Portanto, tirando a raiz:

Resposta

A constante de normalização é:
N = 2raizlambda(lambda^2 + k^2)k

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