Beleza, vamos lá! A gente recebeu uma função de onda:
com e sendo um número real. O que precisamos fazer aqui é encontrar o valor médio da posição, que na física quântica é representado por . Para isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre funções de onda e valores esperados.
Passo 2
Primeiro, precisamos normalizar a função de onda. Isso significa achar o valor de tal que a probabilidade total seja 1. A condição de normalização é:
Mas, como tende a zero para e a função é definida para , a integral vai de a .
Passo 3
Vamos calcular :
Agora, aplicando a condição de normalização:
Passo 4
Para resolver a integral , usamos uma identidade trigonométrica:
Substituindo na integral:
Resolvendo as integrais:
Então:
Simplificando:
Portanto:
Passo 5
Agora que temos , vamos calcular o valor médio da posição :
Usando a mesma identidade trigonométrica e resolvendo a integral, encontramos: