Dado a função de onda:
psi(x)=N sin (k x) e^-lambda x
com lambda>0 e k in R.
b) Qual o valor médio de posição?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente recebeu uma função de onda:
psi(x) = N sin(kx) e^-lambda x
com lambda > 0 e k sendo um número real. O que precisamos fazer aqui é encontrar o valor médio da posição, que na física quântica é representado por lang<= x rang<=. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre funções de onda e valores esperados.

Passo 2

Primeiro, precisamos normalizar a função de onda. Isso significa achar o valor de N tal que a probabilidade total seja 1. A condição de normalização é:
integral-infty^infty |psi(x)|^2 dx = 1
Mas, como e^-lambda x tende a zero para x to infty e a função sin(kx) é definida para x >= 0, a integral vai de 0 a infty.

Passo 3

Vamos calcular |psi(x)|^2:
|psi(x)|^2 = N^2 sin^2(kx) e^-2lambda x
Agora, aplicando a condição de normalização:
N^2 integral0^infty sin^2(kx) e^-2lambda x dx = 1

Passo 4

Para resolver a integral integral0^infty sin^2(kx) e^-2lambda x dx, usamos uma identidade trigonométrica:
sin^2(kx) = 1 - cos(2kx)2
Substituindo na integral:
N^2 ( 12 integral0^infty e^-2lambda x dx - 12 integral0^infty cos(2kx) e^-2lambda x dx ) = 1
Resolvendo as integrais:
integral0^infty e^-2lambda x dx = 12lambda
integral0^infty cos(2kx) e^-2lambda x dx = 2lambda4lambda^2 + 4k^2 = lambda2(lambda^2 + k^2)
Então:
N^2 ( 12 cdot 12lambda - 12 cdot lambda2(lambda^2 + k^2) ) = 1
Simplificando:
N^2 ( 14lambda - lambda4(lambda^2 + k^2) ) = 1
N^2 cdot 14 ( 1lambda - lambdalambda^2 + k^2 ) = 1
N^2 = 4(lambda^2 + k^2)lambda(lambda^2 + k^2 - lambda^2) = 4lambda(lambda^2 + k^2)k^2
Portanto:
N = raiz4lambda(lambda^2 + k^2)k^2 = 2raizlambda(lambda^2 + k^2)k

Passo 5

Agora que temos N, vamos calcular o valor médio da posição lang<= x rang<=:
lang<= x rang<= = integral0^infty x |psi(x)|^2 dx = N^2 integral0^infty x sin^2(kx) e^-2lambda x dx
Usando a mesma identidade trigonométrica e resolvendo a integral, encontramos:
lang<= x rang<= = lambda^2 + k^24lambda^3

Resposta

O valor médio da posição é lang<= x rang<= = dfraclambda^2 + k^24,lambda^3.

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