Dado a função de onda:
e .
b) Qual o valor médio de posição?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente recebeu uma função de onda:
com e sendo um número real. O que precisamos fazer aqui é encontrar o valor médio da posição, que na física quântica é representado por . Para isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre funções de onda e valores esperados.

Passo 2

Primeiro, precisamos normalizar a função de onda. Isso significa achar o valor de tal que a probabilidade total seja 1. A condição de normalização é:
Mas, como tende a zero para e a função é definida para , a integral vai de a .

Passo 3

Vamos calcular :
Agora, aplicando a condição de normalização:

Passo 4

Para resolver a integral , usamos uma identidade trigonométrica:
Substituindo na integral:
Resolvendo as integrais:
Então:
Simplificando:
Portanto:

Passo 5

Agora que temos , vamos calcular o valor médio da posição :
Usando a mesma identidade trigonométrica e resolvendo a integral, encontramos:

Resposta

O valor médio da posição é .

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Dado o estado:
com uma base ortonormal.
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Considere uma partícula de massa no poço assimétrico descrito pelo potencial:
encontre a equação transcedental cuja solução corresponde às energias permitidas desse sistema.
Dado o vetor de estado normalizado:
com
c) Dado o operador , qual o valor médio desse operador no estado ?