Dado a função de onda:
e
.
b) Qual o valor médio de posição?
b) Qual o valor médio de posição?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente recebeu uma função de onda:
com
e
sendo um número real. O que precisamos fazer aqui é encontrar o valor médio da posição, que na física quântica é representado por
. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre funções de onda e valores esperados.
Passo 2
Primeiro, precisamos normalizar a função de onda. Isso significa achar o valor de
tal que a probabilidade total seja 1. A condição de normalização é:
Mas, como
tende a zero para
e a função
é definida para
, a integral vai de
a
.
Passo 3
Vamos calcular
:
Agora, aplicando a condição de normalização:
Passo 4
Para resolver a integral
, usamos uma identidade trigonométrica:
Substituindo na integral:
Resolvendo as integrais:
Então:
Simplificando:
Portanto:
Passo 5
Agora que temos
, vamos calcular o valor médio da posição
:
Usando a mesma identidade trigonométrica e resolvendo a integral, encontramos:
Resposta
O valor médio da posição é
.