Considere uma partícula de massa presa à uma mola com constante de mola , executando a seguinte oscilação , com . Em , a partícula está em com velocidade . A energia total é . Encontre (a) em radianos. (b) a frequência , © , e (d) m. Dica: Pelo fato de você tem duas escolhas que fornecem . Você deve escolher a que fornece velocidade inicial negativa. ou seja, como valor negativo de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula presa numa mola que está oscilando. O movimento é descrito por , onde:
  • é a amplitude da oscilação.
  • é a frequência angular.
  • é a fase inicial que a gente precisa descobrir.
Além disso, sabemos que:
  • Em , a posição .
  • A velocidade inicial .
  • A energia total do sistema é .
Vamos precisar usar as equações do movimento harmônico simples e as relações entre energia, constante da mola e massa .

Passo 2

Primeiro, vamos usar a equação da posição no instante inicial :
Substituindo os valores:
Para achar , rearranjamos:
Agora, precisamos encontrar o ângulo cujo seno é aproximadamente -0,21875.

Passo 3

Calculando :
Usando a função arco seno:
Mas, como o seno é negativo, e queremos que a velocidade inicial seja negativa também, vamos considerar a segunda solução:
Então, .

Passo 4

Agora, vamos encontrar a frequência . Sabemos que a energia total em um movimento harmônico simples é dada por:
Mas também podemos relacionar a energia com a massa e a frequência angular:
Igualando as duas expressões:
Simplificando:
Sabemos que , então:
Mas ainda precisamos de outra equação para resolver , então vamos usar a velocidade inicial.

Passo 5

A velocidade em qualquer instante é dada por:
No instante :
Substituindo os valores:
Calculando :
Então:

Passo 6

Agora que temos , podemos encontrar a frequência :

Passo 7

Vamos encontrar a constante da mola usando a relação . Mas ainda não sabemos , então vamos usar a energia total para encontrar .
Sabemos que:
Substituindo os valores:

Passo 8

Agora que temos , podemos encontrar :

Resposta

(a) A fase inicial é aproximadamente radianos.
(b) A frequência é aproximadamente Hz.
© A constante da mola é aproximadamente .
(d) A massa da partícula é aproximadamente kg.

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