Considere uma partícula de massa m presa à uma mola com constante de mola k, executando a seguinte oscilação x=A sin (omega t+de, com A=0,32 m. Em t=0, a partícula está em x=-0,07 m com velocidade v(0)=-2 m / s. A energia total é 5,6 J. Encontre (a) de em radianos. (b) a frequência f, © k, e (d) m. Dica: Pelo fato de sin theta=sin (pi-theta) você tem duas escolhas que fornecem times(0). Você deve escolher a que fornece velocidade inicial negativa. ou seja, como valor negativo de cos de.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula presa numa mola que está oscilando. O movimento é descrito por , onde:
  • é a amplitude da oscilação.
  • é a frequência angular.
  • é a fase inicial que a gente precisa descobrir.
Além disso, sabemos que:
  • Em , a posição .
  • A velocidade inicial .
  • A energia total do sistema é .
Vamos precisar usar as equações do movimento harmônico simples e as relações entre energia, constante da mola e massa .

Passo 2

Primeiro, vamos usar a equação da posição no instante inicial x(0) = A sin(de:
-0,07 = 0,32 sin(de
Substituindo os valores:
sin(de
Para achar sin(de, rearranjamos:
Agora, precisamos encontrar o ângulo cujo seno é aproximadamente -0,21875.

Passo 3

Calculando de:
Usando a função arco seno:
de
de
Mas, como o seno é negativo, e queremos que a velocidade inicial seja negativa também, vamos considerar a segunda solução:
de
Então, .

Passo 4

Agora, vamos encontrar a frequência E = 12 k A^2 . Sabemos que a energia total E = 12 m omega^2 A^2 em um movimento harmônico simples é dada por:
12 k A^2 = 12 m omega^2 A^2
Mas também podemos relacionar a energia com a massa e a frequência angular:
k = m omega^2
Igualando as duas expressões:
k = m (2pi f)^2
Simplificando:
Sabemos que , então:
Mas ainda precisamos de outra equação para resolver , então vamos usar a velocidade inicial.

Passo 5

A velocidade em qualquer instante é dada por:
v(t) = A omega cos(omega t + de
No instante v(0) = A omega cos(de:
-2 = 0,32 omega cos(3,362)
Substituindo os valores:
cos(3,362) approx -0,978
Calculando -2 = 0,32 omega (-0,978) :
-2 = -0,31296 omega
Então:
omega approx 20,31296
omega approx 6,39 , rad/s

Passo 6

Agora que temos omega = 2pi f , podemos encontrar a frequência f = omega2pi :
f approx 6,396,283
f approx 1,02 , Hz

Passo 7

Vamos encontrar a constante da mola E = 12 m omega^2 A^2 usando a relação 5,6 = 12 m (6,39)^2 (0,32)^2 . Mas ainda não sabemos 5,6 = 12 m (40,83) (0,1024) , então vamos usar a energia total para encontrar 5,6 = 12 m (4,17) .
Sabemos que:
5,6 = 2,085 m
Substituindo os valores:
m approx 5,62,085
m approx 2,69 , kg

Passo 8

Agora que temos k = m omega^2 , podemos encontrar k = 2,69 times (6,39)^2 :
k = 2,69 times 40,83
k approx 109,83 , N/m

Resposta

(a) A fase inicial é aproximadamente radianos.
(b) A frequência é aproximadamente Hz.
© A constante da mola é aproximadamente .
(d) A massa da partícula é aproximadamente kg.

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