Uma massa m oscila à 60 Hz quando presa à uma mola com constante de força k. Adicionando-se 2 Kg à massa muda-se a frequência para 30 Hz. Encontre m e k.

Passo 1

Beleza, temos um problema de oscilações envolvendo uma massa e uma mola. A gente precisa descobrir a massa f = 12pi raizkm e a constante da mola . Para isso, vamos usar a fórmula da frequência de um sistema massa-mola, que é:

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação para a frequência inicial. A massa 60 = 12pi raizkm está oscilando a , então temos:

Passo 3

Depois, adicionamos 30 = 12pi raizkm + 2 à massa, tornando-a . Agora, a frequência cai para . A equação fica:

Passo 4

Vamos simplificar essas duas equações para facilitar. Primeiro, multiplicamos ambos os lados da primeira equação por 60 times 2pi = raizkm :
120pi = raizkm
(120pi)^2 = km
Agora, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
14400pi^2 = km
k = 14400pi^2 m (Equação 1)
çã

Passo 5

Fazemos o mesmo com a segunda equação:
30 times 2pi = raizkm + 2
60pi = raizkm + 2
Elevamos ao quadrado:
(60pi)^2 = km + 2
3600pi^2 = km + 2
k = 3600pi^2 (m + 2) (Equação 2) çã

Passo 6

Agora temos duas expressões para 14400pi^2 m = 3600pi^2 (m + 2) . Igualamos as Equações 1 e 2:
4m = m + 2
Podemos dividir ambos os lados por 3m = 2 para simplificar:
m = 23 Kg
Subtraímos de ambos os lados:
Então, isolando :

Passo 7

Agora que temos k = 14400pi^2 times 23 = 9600pi^2 N/m , substituímos esse valor na Equação 1 para encontrar :

Resposta

A massa é e a constante da mola é .

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