A massa de um pêndulo é 2 m e se move à 2 m / s quando está em seu ponto mais baixo. Qual é (a) seu período?, (b) sua frequência angular nesse instante, © a amplitude am graus? (Assuma sin theta approx theta )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre pêndulos! A gente sabe que a massa do pêndulo é 2 kg e ele está se movendo a 2 m/s no ponto mais baixo. Precisamos encontrar três coisas: o período, a frequência angular nesse instante e a amplitude em graus. Para isso, vamos usar as fórmulas básicas do movimento harmônico simples, que é o que descreve o movimento de um pêndulo quando o ângulo é pequeno (aqui, estamos assumindo que sin theta approx theta).

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o período do pêndulo. O período ( T) é o tempo que o pêndulo leva para dar uma volta completa. A fórmula para o período de um pêndulo simples é:
T = 2pi raizLg
Onde:
  • L é o comprimento do pêndulo.
  • g é a aceleração da gravidade (aproximadamente 9,8 , m/s^2).
No entanto, o comprimento L não foi fornecido diretamente. Mas podemos relacionar a velocidade no ponto mais baixo com a amplitude.

Passo 3

No ponto mais baixo, toda a energia potencial se transforma em energia cinética. A velocidade máxima ( vmax) do pêndulo é dada por:
vmax = omega A
Onde:
  • omega é a frequência angular.
  • A é a amplitude.
Sabemos que vmax = 2 , m/s. Precisamos encontrar omega e A, mas primeiro vamos relacionar omega com o período.

Passo 4

A frequência angular ( omega) está relacionada com o período pela fórmula:
omega = 2piT
Então, podemos substituir na equação da velocidade:
vmax = 2piT cdot A
Mas ainda precisamos de mais informações para resolver, então vamos pensar na relação entre a amplitude e o comprimento.

Passo 5

No movimento harmônico simples, a amplitude e o comprimento do pêndulo estão relacionados pela fórmula:
A = L thetamax
Onde thetamax é a amplitude em radianos. Como queremos a amplitude em graus, vamos lembrar que 1 radiano ≈ 57,3 graus.

Passo 6

Vamos agora usar a fórmula do período em termos de omega:
T = 2piomega
E sabemos que:
vmax = omega A
Substituindo A por L thetamax:
vmax = omega L thetamax
Mas ainda precisamos de uma maneira de conectar todas essas variáveis. Vamos considerar que para um pêndulo, L está relacionado com omega pela equação:
omega = raizgL

Passo 7

Substituindo omega na equação da velocidade:
vmax = raizgL cdot L thetamax = raizgL thetamax
Isolando thetamax:
thetamax = vmaxraizgL
Mas ainda faltam informações para resolver diretamente. Portanto, vamos assumir que a amplitude é pequena e que podemos relacionar vmax diretamente com omega e A.

Passo 8

Voltando à relação:
vmax = omega A
E sabendo que:
omega = raizgL
Podemos escrever:
A = vmaxraizgL = vmax raizLg
Mas ainda não temos L. Precisamos encontrar outra maneira de expressar L em termos de T ou omega.

Passo 9

Vamos reconsiderar a fórmula do período:
T = 2pi raizLg
Isolando L:
L = ( T2pi )^2 g
Agora, podemos substituir L na expressão da amplitude:
A = vmax raiz( T2pi )^2 gg = vmax cdot T2pi
Isso nos dá uma relação direta entre A e T.

Passo 10

Mas ainda precisamos de mais uma equação para resolver o sistema. Vamos olhar novamente para a velocidade máxima:
vmax = omega A = 2piT A
Substituindo A da etapa anterior:
vmax = 2piT cdot vmax T2pi = vmax
Isso confirma que nossas relações estão consistentes, mas precisamos de outra abordagem para encontrar T. Vamos usar a energia.

Passo 11

A energia mecânica total ( E) do pêndulo é a soma da energia cinética máxima e da energia potencial máxima:
E = 12 m vmax^2 = 12 m (g L thetamax^2)
Isolando thetamax:
thetamax = vmaxraizg L
Mas ainda não temos L. Parece que estamos presos sem o comprimento. Talvez o enunciado tenha um erro e a massa tivesse sido mencionada como 2 m (comprimento).

Passo 12

Revisando o enunciado, parece que "A massa de um pêndulo é 2 m" provavelmente se refere ao comprimento L = 2 , m. Vamos prosseguir com L = 2 , m.

Passo 13

Agora que temos L = 2 , m, podemos calcular o período:
T = 2pi raiz29,8 approx 2pi raiz0,204 approx 2pi cdot 0,452 approx 2,84 , s

Passo 14

Para a frequência angular ( omega), usamos:
omega = 2piT = 2pi2,84 approx 2,21 , rad/s

Passo 15

Agora, vamos encontrar a amplitude ( A). Sabemos que:
vmax = omega A Rightarrow A = vmaxomega = 22,21 approx 0,906 , m
Para converter para graus, usamos:
thetamax = AL = 0,9062 = 0,453 , rad approx 0,453 times 57,3 approx 25,94^circ

Resposta

(a) O período do pêndulo é aproximadamente 2,84 , s.
(b) A frequência angular nesse instante é aproximadamente 2,21 , rad/s.
© A amplitude é aproximadamente 25,94^circ.

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