Beleza, vamos resolver esse exercício sobre pêndulos! A gente sabe que a massa do pêndulo é 2 kg e ele está se movendo a 2 m/s no ponto mais baixo. Precisamos encontrar três coisas: o período, a frequência angular nesse instante e a amplitude em graus. Para isso, vamos usar as fórmulas básicas do movimento harmônico simples, que é o que descreve o movimento de um pêndulo quando o ângulo é pequeno (aqui, estamos assumindo que ).
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o período do pêndulo. O período () é o tempo que o pêndulo leva para dar uma volta completa. A fórmula para o período de um pêndulo simples é:
Onde:
é o comprimento do pêndulo.
é a aceleração da gravidade (aproximadamente ).
No entanto, o comprimento não foi fornecido diretamente. Mas podemos relacionar a velocidade no ponto mais baixo com a amplitude.
Passo 3
No ponto mais baixo, toda a energia potencial se transforma em energia cinética. A velocidade máxima () do pêndulo é dada por:
Onde:
é a frequência angular.
é a amplitude.
Sabemos que . Precisamos encontrar e , mas primeiro vamos relacionar com o período.
Passo 4
A frequência angular () está relacionada com o período pela fórmula:
Então, podemos substituir na equação da velocidade:
Mas ainda precisamos de mais informações para resolver, então vamos pensar na relação entre a amplitude e o comprimento.
Passo 5
No movimento harmônico simples, a amplitude e o comprimento do pêndulo estão relacionados pela fórmula:
Onde é a amplitude em radianos. Como queremos a amplitude em graus, vamos lembrar que radiano ≈ graus.
Passo 6
Vamos agora usar a fórmula do período em termos de :
E sabemos que:
Substituindo por :
Mas ainda precisamos de uma maneira de conectar todas essas variáveis. Vamos considerar que para um pêndulo, está relacionado com pela equação:
Passo 7
Substituindo na equação da velocidade:
Isolando :
Mas ainda faltam informações para resolver diretamente. Portanto, vamos assumir que a amplitude é pequena e que podemos relacionar diretamente com e .
Passo 8
Voltando à relação:
E sabendo que:
Podemos escrever:
Mas ainda não temos . Precisamos encontrar outra maneira de expressar em termos de ou .
Passo 9
Vamos reconsiderar a fórmula do período:
Isolando :
Agora, podemos substituir na expressão da amplitude:
Isso nos dá uma relação direta entre A e T.
Passo 10
Mas ainda precisamos de mais uma equação para resolver o sistema. Vamos olhar novamente para a velocidade máxima:
vmax = omega A = 2piT A
Substituindo A da etapa anterior:
vmax = 2piT cdot vmax T2pi = vmax
Isso confirma que nossas relações estão consistentes, mas precisamos de outra abordagem para encontrar T. Vamos usar a energia.
Passo 11
A energia mecânica total (E) do pêndulo é a soma da energia cinética máxima e da energia potencial máxima:
E = 12 m vmax^2 = 12 m (g L thetamax^2)
Isolando thetamax:
thetamax = vmaxraizg L
Mas ainda não temos L. Parece que estamos presos sem o comprimento. Talvez o enunciado tenha um erro e a massa tivesse sido mencionada como 2 m (comprimento).
Passo 12
Revisando o enunciado, parece que "A massa de um pêndulo é 2 m" provavelmente se refere ao comprimento L = 2 , m. Vamos prosseguir com L = 2 , m.
Passo 13
Agora que temos L = 2 , m, podemos calcular o período:
T = 2pi raiz29,8 approx 2pi raiz0,204 approx 2pi cdot 0,452 approx 2,84 , s
Passo 14
Para a frequência angular (omega), usamos:
omega = 2piT = 2pi2,84 approx 2,21 , rad/s
Passo 15
Agora, vamos encontrar a amplitude (A). Sabemos que:
vmax = omega A Rightarrow A = vmaxomega = 22,21 approx 0,906 , m
Para converter para graus, usamos:
thetamax = AL = 0,9062 = 0,453 , rad approx 0,453 times 57,3 approx 25,94^circ
Resposta
(a) O período do pêndulo é aproximadamente 2,84 , s.
(b) A frequência angular nesse instante é aproximadamente 2,21 , rad/s.