A massa de um pêndulo é e se move à quando está em seu ponto mais baixo. Qual é (a) seu período?, (b) sua frequência angular nesse instante, © a amplitude am graus? (Assuma )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre pêndulos! A gente sabe que a massa do pêndulo é 2 kg e ele está se movendo a 2 m/s no ponto mais baixo. Precisamos encontrar três coisas: o período, a frequência angular nesse instante e a amplitude em graus. Para isso, vamos usar as fórmulas básicas do movimento harmônico simples, que é o que descreve o movimento de um pêndulo quando o ângulo é pequeno (aqui, estamos assumindo que ).

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o período do pêndulo. O período ( ) é o tempo que o pêndulo leva para dar uma volta completa. A fórmula para o período de um pêndulo simples é:
Onde:
  • é o comprimento do pêndulo.
  • é a aceleração da gravidade (aproximadamente ).
No entanto, o comprimento não foi fornecido diretamente. Mas podemos relacionar a velocidade no ponto mais baixo com a amplitude.

Passo 3

No ponto mais baixo, toda a energia potencial se transforma em energia cinética. A velocidade máxima ( ) do pêndulo é dada por:
Onde:
  • é a frequência angular.
  • é a amplitude.
Sabemos que . Precisamos encontrar e , mas primeiro vamos relacionar com o período.

Passo 4

A frequência angular ( ) está relacionada com o período pela fórmula:
Então, podemos substituir na equação da velocidade:
Mas ainda precisamos de mais informações para resolver, então vamos pensar na relação entre a amplitude e o comprimento.

Passo 5

No movimento harmônico simples, a amplitude e o comprimento do pêndulo estão relacionados pela fórmula:
Onde é a amplitude em radianos. Como queremos a amplitude em graus, vamos lembrar que radiano ≈ graus.

Passo 6

Vamos agora usar a fórmula do período em termos de :
E sabemos que:
Substituindo por :
Mas ainda precisamos de uma maneira de conectar todas essas variáveis. Vamos considerar que para um pêndulo, está relacionado com pela equação:

Passo 7

Substituindo na equação da velocidade:
Isolando :
Mas ainda faltam informações para resolver diretamente. Portanto, vamos assumir que a amplitude é pequena e que podemos relacionar diretamente com e .

Passo 8

Voltando à relação:
E sabendo que:
Podemos escrever:
Mas ainda não temos . Precisamos encontrar outra maneira de expressar em termos de ou .

Passo 9

Vamos reconsiderar a fórmula do período:
Isolando :
Agora, podemos substituir na expressão da amplitude:
Isso nos dá uma relação direta entre e .

Passo 10

Mas ainda precisamos de mais uma equação para resolver o sistema. Vamos olhar novamente para a velocidade máxima:
Substituindo da etapa anterior:
Isso confirma que nossas relações estão consistentes, mas precisamos de outra abordagem para encontrar . Vamos usar a energia.

Passo 11

A energia mecânica total ( ) do pêndulo é a soma da energia cinética máxima e da energia potencial máxima:
Isolando :
Mas ainda não temos . Parece que estamos presos sem o comprimento. Talvez o enunciado tenha um erro e a massa tivesse sido mencionada como 2 m (comprimento).

Passo 12

Revisando o enunciado, parece que "A massa de um pêndulo é " provavelmente se refere ao comprimento . Vamos prosseguir com .

Passo 13

Agora que temos , podemos calcular o período:

Passo 14

Para a frequência angular ( ), usamos:

Passo 15

Agora, vamos encontrar a amplitude ( ). Sabemos que:
Para converter para graus, usamos:

Resposta

(a) O período do pêndulo é aproximadamente .
(b) A frequência angular nesse instante é aproximadamente .
© A amplitude é aproximadamente .

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