Um pêndulo simples oscila com frequência igual a 2,0 Hz. No instante t=10 s, o pêndulo é afastado 5^circ em relação a vertical e recebe um impulso tangencial e parte com velocidade igual à 0,2 m / s no sentido.
a. Determine o comprimento do pêndulo.
b. Qual é amplitude máxima?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está rolando aqui! A gente tem um pêndulo que está oscilando com uma frequência de . No tempo , ele é afastado da vertical e recebe um empurrão que o faz ganhar uma velocidade de . Vamos resolver duas partes:
a. Descobrir o comprimento do pêndulo.
b. Encontrar a amplitude máxima das oscilações.
Para isso, vamos usar conceitos de física sobre pêndulos simples, envolvendo fórmulas de frequência e movimento harmônico.

Passo 2

Vamos começar determinando o comprimento do pêndulo. Sabemos que a frequência T = 1f está relacionada com o período T = 12,0 = 0,5 s pela fórmula:
Como , então:

Passo 3

Agora, usamos a fórmula do período do pêndulo simples, que relaciona o período T = 2pi raizLg , o comprimento L = ( T2pi )^2 cdot g e a aceleração da gravidade L = ( 0,52pi )^2 cdot 9,81 approx (0,0796)^2 cdot 9,81 approx 0,00634 cdot 9,81 approx 0,0622 m :
Queremos encontrar , então isolamos :
Considerando , substituímos os valores:

Passo 4

Agora, vamos para a amplitude máxima. A amplitude máxima ( theta0 = 5^circ times pi180 approx 0,0873 rad ) é o maior deslocamento angular que o pêndulo atinge. Para encontrar isso, vamos considerar tanto o deslocamento inicial quanto a velocidade inicial que o pêndulo recebeu.
Primeiro, convertemos os para radianos, já que as fórmulas de movimento harmônico usam radianos:

Passo 5

A velocidade tangencial v = omega L está relacionada à velocidade angular omega = 2pi f = 2pi times 2,0 approx 12,566 rad/s e ao comprimento thetadot = vL = 0,20,0622 approx 3,214 rad/s pela equação:
Primeiro, calculamos (a frequência angular):
Agora, encontramos a velocidade angular inicial :

Passo 6

A amplitude máxima é calculada combinando o deslocamento inicial e a velocidade inicial. Usamos a seguinte fórmula:
thetamax = raiztheta0^2 + (thetadotomega)^2
Substituindo os valores:
thetamax = raiz(0,0873)^2 + (3,21412,566)^2 approx raiz0,00762 + (0,2553)^2 approx raiz0,00762 + 0,0652 approx raiz0,0728 approx 0,269 rad

Passo 7

Finalmente, convertemos thetamax approx 0,269 rad times 180pi approx 15,43^circ de radianos para graus:

Resposta

a. O comprimento do pêndulo é aproximadamente 0,062 metros.
b. A amplitude máxima é aproximadamente 15,43 graus.

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