Um disco fino circular de raio a acha-se carregado uniformemente com uma densidade superficial o. Mostre que o campo elétrico num ponto do eixo do disco situado a uma distância
do seu centro é dado por:
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um disco fino e circular com raio
que está carregado de forma uniforme, ou seja, a densidade superficial de carga é constante e igual a
. Precisamos encontrar o campo elétrico
em um ponto localizado no eixo do disco, a uma distância
do centro. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a Lei de Coulomb e o princípio da superposição para campos elétricos.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar um elemento infinitesimal do disco. Imagine que o disco está no plano
e o ponto onde queremos calcular o campo está ao longo do eixo
. Vamos usar coordenadas cilíndricas, onde a distância radial do elemento ao centro do disco é
e o ângulo é
.
Passo 3
A carga de um pequeno anel de raio
e espessura
no disco é dada por:
Aqui,
é a área do anel, e multiplicamos pela densidade superficial
para obter a carga
.
Passo 4
O campo elétrico devido a esse anel no ponto
no eixo
tem apenas componente na direção
devido à simetria. A componente radial se cancela porque para cada elemento de carga em uma posição, há outro em posição oposta que cancela essa componente. Então, a contribuição do anel para o campo elétrico em
é:
onde
é a distância do ponto
ao disco.
Passo 5
Substituindo
na expressão de
:
Simplificando:
Passo 6
Para encontrar o campo elétrico total
, integramos
de
até
:
Passo 7
Vamos resolver a integral:
Fazendo a substituição
,
, então:
Voltando à variável original:
Passo 8
Aplicando os limites da integral:
Passo 9
Substituindo de volta na expressão para
:
Simplificando:
Resposta
O campo elétrico no ponto do eixo a uma distância
do centro do disco é:
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onde d é a distância entre as cargas.
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)
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.
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.
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