Um disco fino circular de raio a acha-se carregado uniformemente com uma densidade superficial o. Mostre que o campo elétrico num ponto do eixo do disco situado a uma distância r do seu centro é dado por: E=[0 /(20)][1-r /(a 2+r 2) / 2].

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um disco fino e circular com raio que está carregado de forma uniforme, ou seja, a densidade superficial de carga é constante e igual a . Precisamos encontrar o campo elétrico em um ponto localizado no eixo do disco, a uma distância do centro. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a Lei de Coulomb e o princípio da superposição para campos elétricos.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar um elemento infinitesimal do disco. Imagine que o disco está no plano e o ponto onde queremos calcular o campo está ao longo do eixo . Vamos usar coordenadas cilíndricas, onde a distância radial do elemento ao centro do disco é e o ângulo é .

Passo 3

A carga de um pequeno anel de raio dq = sigma cdot 2pirho drho e espessura no disco é dada por:
Aqui, é a área do anel, e multiplicamos pela densidade superficial para obter a carga .

Passo 4

O campo elétrico devido a esse anel no ponto dE = 14piepsilon0 cdot dq cdot z(z^2 + rho^2)^3/2 no eixo tem apenas componente na direção devido à simetria. A componente radial se cancela porque para cada elemento de carga em uma posição, há outro em posição oposta que cancela essa componente. Então, a contribuição do anel para o campo elétrico em é:
onde é a distância do ponto ao disco.

Passo 5

Substituindo dE = 14piepsilon0 cdot sigma cdot 2pirho drho cdot r(r^2 + rho^2)^3/2 na expressão de dE = sigma r2epsilon0 cdot rho drho(r^2 + rho^2)^3/2 :
Simplificando:

Passo 6

Para encontrar o campo elétrico total E = sigma r2epsilon0 integral0^a rho drho(r^2 + rho^2)^3/2 , integramos de até :

Passo 7

Vamos resolver a integral:
integral rho drho(r^2 + rho^2)^3/2
Fazendo a substituição 12 integral u^-3/2 du = -u^-1/2 , -1raizr^2 + rho^2 , então:
Voltando à variável original:

Passo 8

Aplicando os limites da integral:
-1raizr^2 + a^2 + 1raizr^2 + 0 = 1r - 1raizr^2 + a^2

Passo 9

Substituindo de volta na expressão para E = sigma r2epsilon0 ( 1r - 1raizr^2 + a^2 ) :
E = sigma2epsilon0 ( 1 - rraizr^2 + a^2 )
Simplificando:

Resposta

O campo elétrico no ponto do eixo a uma distância E = sigma2epsilon0 (1 - rraiza^2 + r^2) do centro do disco é:

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