Um disco fino circular de raio a acha-se carregado uniformemente com uma densidade superficial o. Mostre que o campo elétrico num ponto do eixo do disco situado a uma distância do seu centro é dado por: .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um disco fino e circular com raio que está carregado de forma uniforme, ou seja, a densidade superficial de carga é constante e igual a . Precisamos encontrar o campo elétrico em um ponto localizado no eixo do disco, a uma distância do centro. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a Lei de Coulomb e o princípio da superposição para campos elétricos.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar um elemento infinitesimal do disco. Imagine que o disco está no plano e o ponto onde queremos calcular o campo está ao longo do eixo . Vamos usar coordenadas cilíndricas, onde a distância radial do elemento ao centro do disco é e o ângulo é .

Passo 3

A carga de um pequeno anel de raio e espessura no disco é dada por:
Aqui, é a área do anel, e multiplicamos pela densidade superficial para obter a carga .

Passo 4

O campo elétrico devido a esse anel no ponto no eixo tem apenas componente na direção devido à simetria. A componente radial se cancela porque para cada elemento de carga em uma posição, há outro em posição oposta que cancela essa componente. Então, a contribuição do anel para o campo elétrico em é:
onde é a distância do ponto ao disco.

Passo 5

Substituindo na expressão de :
Simplificando:

Passo 6

Para encontrar o campo elétrico total , integramos de até :

Passo 7

Vamos resolver a integral:
Fazendo a substituição , , então:
Voltando à variável original:

Passo 8

Aplicando os limites da integral:

Passo 9

Substituindo de volta na expressão para :
Simplificando:

Resposta

O campo elétrico no ponto do eixo a uma distância do centro do disco é:

Exercícios relacionados

Duas cargas positivas estão sobre o eixo dos z com uma delas na origem. Mostre que a variação do campo elétrico a meia distância entre elas é dada por: л onde d é a distância entre as cargas.
Considere uma partícula em um movimento hiperbólico (vista por um observador em um referencial inercial )
Encontre a velocidade ordinária e a 4 -velocidade como funções de .
Uma esfera isolante maciça possui uma densidade de cargas uniforme p. Uma cavidade esférica é produzida nesta esfera. Mostre que o vetor campo elétrico em do interior de cavidade é dado por onde a é o vetor que liga o centro da circunferência com o centro da cavidade.
Considere duas placas infinitas, paralelas ao plano e em repouso para um certo referencial . A placa inferior (menor valor de ) tem uma densidade de carga e a superior uma densidade de carga .
Usando as leis de Gauss e Ampère, determine os campos elétricos e magnéticos entre as placas para observadores em .