Considere uma partícula penetrando em uma barreira de potencial retangular. Escreva as soluções gerais, que dão forma a
nas diferentes regiões do potencial. Encontre então quatro relações entre as cinco constantes arbitrárias ajustando
e
nos limites entre essas regiões. Calcule os coeficientes de transmissão e reflexão.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de Mecânica Quântica onde uma partícula está penetrando em uma barreira de potencial retangular. O conteúdo principal aqui é a equação de Schrödinger para regiões com diferentes potenciais. Precisaremos das soluções gerais da função de onda
em cada região e aplicar condições de continuidade para encontrar os coeficientes de transmissão e reflexão.
Passo 2
Primeiro, dividimos o espaço em três regiões:
- Região I: antes da barreira, onde o potencial
. - Região II: dentro da barreira, onde o potencial
. - Região III: após a barreira, onde o potencial
novamente.
Passo 3
Em cada região, a equação de Schrödinger é:
Onde
é a energia da partícula,
é a massa, e
é a constante de Planck reduzida.
Passo 4
Na Região I (
,
), a solução geral é uma combinação de ondas incidentes e refletidas:
Onde
.
Passo 5
Na Região II (
,
), a solução depende se
ou
. Vamos considerar
, então a solução será uma combinação de funções exponenciais decrescentes e crescentes:
Onde
.
Passo 6
Na Região III (
,
), a solução representa a onda transmitida:
Passo 7
Aplicamos as condições de continuidade em
e
, ou seja,
e
devem ser contínuas nesses pontos.
Em
:
Em
:
Passo 8
Temos cinco constantes:
,
,
,
,
. As quatro equações acima permitem expressar quatro dessas constantes em termos de uma delas (por exemplo, definir
para ondas incidentes unitárias).
Passo 9
Os coeficientes de reflexão
e transmissão
são dados por:
Resposta
Após resolver o sistema de equações, os coeficientes de reflexão e transmissão são encontrados como: