Considere uma partícula penetrando em uma barreira de potencial retangular. Escreva as soluções gerais, que dão forma a nas diferentes regiões do potencial. Encontre então quatro relações entre as cinco constantes arbitrárias ajustando e nos limites entre essas regiões. Calcule os coeficientes de transmissão e reflexão.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Mecânica Quântica onde uma partícula está penetrando em uma barreira de potencial retangular. O conteúdo principal aqui é a equação de Schrödinger para regiões com diferentes potenciais. Precisaremos das soluções gerais da função de onda em cada região e aplicar condições de continuidade para encontrar os coeficientes de transmissão e reflexão.

Passo 2

Primeiro, dividimos o espaço em três regiões:
  1. Região I: antes da barreira, onde o potencial .
  2. Região II: dentro da barreira, onde o potencial .
  3. Região III: após a barreira, onde o potencial novamente.

Passo 3

Em cada região, a equação de Schrödinger é:
Onde é a energia da partícula, é a massa, e é a constante de Planck reduzida.

Passo 4

Na Região I ( , ), a solução geral é uma combinação de ondas incidentes e refletidas:
Onde .

Passo 5

Na Região II ( , ), a solução depende se ou . Vamos considerar , então a solução será uma combinação de funções exponenciais decrescentes e crescentes:
Onde .

Passo 6

Na Região III ( , ), a solução representa a onda transmitida:

Passo 7

Aplicamos as condições de continuidade em e , ou seja, e devem ser contínuas nesses pontos.
Em :
Em :

Passo 8

Temos cinco constantes: , , , , . As quatro equações acima permitem expressar quatro dessas constantes em termos de uma delas (por exemplo, definir para ondas incidentes unitárias).

Passo 9

Os coeficientes de reflexão e transmissão são dados por:

Resposta

Após resolver o sistema de equações, os coeficientes de reflexão e transmissão são encontrados como:

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