Considere uma partícula penetrando em uma barreira de potencial retangular. Escreva as soluções gerais, que dão forma a nas diferentes regiões do potencial. Encontre então quatro relações entre as cinco constantes arbitrárias ajustando e nos limites entre essas regiões. Calcule os coeficientes de transmissão e reflexão.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de Mecânica Quântica onde uma partícula está penetrando em uma barreira de potencial retangular. O conteúdo principal aqui é a equação de Schrödinger para regiões com diferentes potenciais. Precisaremos das soluções gerais da função de onda em cada região e aplicar condições de continuidade para encontrar os coeficientes de transmissão e reflexão.
Passo 2
Primeiro, dividimos o espaço em três regiões:
Região I: antes da barreira, onde o potencial .
Região II: dentro da barreira, onde o potencial .
Região III: após a barreira, onde o potencial novamente.
Passo 3
Em cada região, a equação de Schrödinger é:
Onde é a energia da partícula, é a massa, e é a constante de Planck reduzida.
Passo 4
Na Região I (, ), a solução geral é uma combinação de ondas incidentes e refletidas:
Onde .
Passo 5
Na Região II (, ), a solução depende se ou . Vamos considerar , então a solução será uma combinação de funções exponenciais decrescentes e crescentes:
Onde .
Passo 6
Na Região III (, ), a solução representa a onda transmitida:
Passo 7
Aplicamos as condições de continuidade em e , ou seja, e devem ser contínuas nesses pontos.
Em :
Em :
Passo 8
Temos cinco constantes: , , , , . As quatro equações acima permitem expressar quatro dessas constantes em termos de uma delas (por exemplo, definir para ondas incidentes unitárias).
Passo 9
Os coeficientes de reflexão e transmissão são dados por:
Resposta
Após resolver o sistema de equações, os coeficientes de reflexão e transmissão são encontrados como: