Considere uma partícula penetrando em uma barreira de potencial retangular. Escreva as soluções gerais, que dão forma a psi nas diferentes regiões do potencial. Encontre então quatro relações entre as cinco constantes arbitrárias ajustando psi e d psi / d x nos limites entre essas regiões. Calcule os coeficientes de transmissão e reflexão.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Mecânica Quântica onde uma partícula está penetrando em uma barreira de potencial retangular. O conteúdo principal aqui é a equação de Schrödinger para regiões com diferentes potenciais. Precisaremos das soluções gerais da função de onda psi em cada região e aplicar condições de continuidade para encontrar os coeficientes de transmissão e reflexão.

Passo 2

Primeiro, dividimos o espaço em três regiões:
  1. Região I: antes da barreira, onde o potencial V = 0.
  2. Região II: dentro da barreira, onde o potencial V = V0.
  3. Região III: após a barreira, onde o potencial V = 0 novamente.

Passo 3

Em cada região, a equação de Schrödinger é:
-hbar^22m d^2 psidx^2 + V(x)psi = Epsi
Onde E é a energia da partícula, m é a massa, e hbar é a constante de Planck reduzida.

Passo 4

Na Região I ( x < 0, V = 0), a solução geral é uma combinação de ondas incidentes e refletidas:
psiI(x) = A e^ikx + B e^-ikx
Onde k = raiz2mEhbar^2.

Passo 5

Na Região II ( 0 <= x <= a, V = V0), a solução depende se E > V0 ou E < V0. Vamos considerar E < V0, então a solução será uma combinação de funções exponenciais decrescentes e crescentes:
psiII(x) = C e^kappa x + D e^-kappa x
Onde kappa = raiz2m(V0 - E)hbar^2.

Passo 6

Na Região III ( x > a, V = 0), a solução representa a onda transmitida:
psiIII(x) = F e^ikx

Passo 7

Aplicamos as condições de continuidade em x = 0 e x = a, ou seja, psi e dpsi/dx devem ser contínuas nesses pontos.
Em x = 0:
A + B = C + D
ik(A - B) = kappa(C - D)
Em x = a:
C e^kappa a + D e^-kappa a = F e^ika
kappa(C e^kappa a - D e^-kappa a) = ikF e^ika

Passo 8

Temos cinco constantes: A, B, C, D, F. As quatro equações acima permitem expressar quatro dessas constantes em termos de uma delas (por exemplo, definir A = 1 para ondas incidentes unitárias).

Passo 9

Os coeficientes de reflexão R e transmissão T são dados por:
R = |BA|^2
T = |FA|^2

Resposta

Após resolver o sistema de equações, os coeficientes de reflexão e transmissão são encontrados como:
R = ((k^2 - kappa^2)^2 sin^2(kappa a)4k^2kappa^2 + (k^2 - kappa^2)^2 sin^2(kappa a))
T = 4k^2kappa^24k^2kappa^2 + (k^2 - kappa^2)^2 sin^2(kappa a)

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