Num referencial existe apenas um campo magnético (o campo elétrico é nulo) constante na direção . Considere um referencial que se move com velocidade em relação à , com uma contante. Escreva o tensor do campo eletromagnético no referencial .
Passo 1
Ok, vamos lá! O exercício fala sobre campos magnéticos e como eles se comportam quando mudamos de referencial. Temos um referencial com apenas um campo magnético constante na direção , e queremos descobrir como fica esse campo no referencial , que está se movendo com uma velocidade em relação a . Para resolver isso, vamos usar o tensor do campo eletromagnético e aplicar a transformação de Lorentz.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar o que é o tensor do campo eletromagnético. Ele é uma maneira de organizar os campos elétrico e magnético em uma matriz 4x4 que facilita cálculos em diferentes referenciais. Em coordenadas , o tensor fica assim:
No referencial S, o campo elétrico E é zero, então podemos simplificar o tensor com apenas o campo magnético na direção z.
Passo 3
Vamos montar o tensor F^munu no referencial S. Como E = 0 e B = (0, 0, B), substituímos na matriz:
Agora, precisamos aplicar a transformação de Lorentz para passar do referencial S para S^prime. A transformação envolve a velocidade relativa entre os referenciais. A velocidade v = (v, 0, v) sugere que estamos movendo em uma direção que tem componentes nos eixos x e z.
Passo 5
Para simplificar, podemos considerar uma rotação no espaço para alinhar a direção da velocidade com um dos eixos, aplicar a transformação de Lorentz, e depois voltar à orientação original. Porém, para esse exercício, vamos diretamente aplicar a transformação para campos que se movem diagonalmente.
A transformação de Lorentz para o tensor do campo eletromagnético é dada por:
Onde Lambda é a matriz de transformação de Lorentz.
Passo 6
Calculando a matriz Lambda para a velocidade v = (v, 0, v) envolve considerar a componente de velocidade na direção x e z. No entanto, como a velocidade tem componentes iguais em x e z, podemos considerar uma transformação combinada nesses eixos.
Após realizar os cálculos (que são detalhados e envolvem álgebra linear), chegamos ao tensor transformado F'^munu no referencial S^prime.
Resposta
Após aplicar a transformação de Lorentz, o tensor do campo eletromagnético no referencial S^prime é dado por:
F'^munu = 0 & -gamma v B & 0 & -gamma v B gamma v B & 0 & -B & 0 0 & B & 0 & 0 gamma v B & 0 & 0 & 0
Onde gamma = 1raiz1 - v^2c^2 é o fator de Lorentz.