Num referencial existe apenas um campo magnético (o campo elétrico é nulo) constante na direção . Considere um referencial que se move com velocidade em relação à , com uma contante. Escreva o tensor do campo eletromagnético no referencial .
Passo 1
Ok, vamos lá! O exercício fala sobre campos magnéticos e como eles se comportam quando mudamos de referencial. Temos um referencial com apenas um campo magnético constante na direção , e queremos descobrir como fica esse campo no referencial , que está se movendo com uma velocidade em relação a . Para resolver isso, vamos usar o tensor do campo eletromagnético e aplicar a transformação de Lorentz.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar o que é o tensor do campo eletromagnético. Ele é uma maneira de organizar os campos elétrico e magnético em uma matriz 4x4 que facilita cálculos em diferentes referenciais. Em coordenadas , o tensor fica assim:
No referencial , o campo elétrico é zero, então podemos simplificar o tensor com apenas o campo magnético na direção .
Passo 3
Vamos montar o tensor no referencial . Como e , substituímos na matriz:
Passo 4
Agora, precisamos aplicar a transformação de Lorentz para passar do referencial para . A transformação envolve a velocidade relativa entre os referenciais. A velocidade sugere que estamos movendo em uma direção que tem componentes nos eixos e .
Passo 5
Para simplificar, podemos considerar uma rotação no espaço para alinhar a direção da velocidade com um dos eixos, aplicar a transformação de Lorentz, e depois voltar à orientação original. Porém, para esse exercício, vamos diretamente aplicar a transformação para campos que se movem diagonalmente.
A transformação de Lorentz para o tensor do campo eletromagnético é dada por:
Onde é a matriz de transformação de Lorentz.
Passo 6
Calculando a matriz para a velocidade envolve considerar a componente de velocidade na direção e . No entanto, como a velocidade tem componentes iguais em e , podemos considerar uma transformação combinada nesses eixos.
Após realizar os cálculos (que são detalhados e envolvem álgebra linear), chegamos ao tensor transformado no referencial .
Resposta
Após aplicar a transformação de Lorentz, o tensor do campo eletromagnético no referencial é dado por: