Partindo do tensor do campo eletromagnético
Calcule os invariantes

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos o tensor do campo eletromagnético , que descreve os campos elétrico e magnético em termos de componentes matemáticos. A matéria aqui envolve a Teoria Eletromagnética de Einstein, onde usamos tensores para representar campos. Nosso objetivo é calcular três invariantes envolvendo os tensores e . Para isso, vamos precisar multiplicar esses tensores de forma apropriada e simplificar as expressões resultantes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são esses invariantes. Um invariante é uma quantidade que permanece a mesma independentemente das transformações de referência, ou seja, não muda se mudarmos o observador. No contexto dos tensores eletromagnéticos, os invariantes são combinações de componentes dos tensores que não mudam quando aplicamos transformações de Lorentz.
Os invariantes que precisamos calcular são:
Aqui, é frequentemente definido como o tensor dual de , ou seja:
onde é o tensor de Levi-Civita, que é totalmente antissimétrico.

Passo 3

Vamos começar calculando o primeiro invariante . Isso significa que vamos multiplicar o tensor por si mesmo, somando sobre os índices repetidos.
Dado o tensor :
A multiplicação resulta em:

Passo 4

Agora, vamos calcular o segundo invariante . Como é o tensor dual de , este produto resulta em:
Isso ocorre porque os tensores e são ortogonais no sentido dos produtos internos dos tensores.

Passo 5

Por fim, calculamos o terceiro invariante . Usando a definição do tensor dual, encontramos:

Resposta

Os invariantes calculados são:

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