Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos o tensor do campo eletromagnético , que descreve os campos elétrico e magnético em termos de componentes matemáticos. A matéria aqui envolve a Teoria Eletromagnética de Einstein, onde usamos tensores para representar campos. Nosso objetivo é calcular três invariantes envolvendo os tensores e . Para isso, vamos precisar multiplicar esses tensores de forma apropriada e simplificar as expressões resultantes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são esses invariantes. Um invariante é uma quantidade que permanece a mesma independentemente das transformações de referência, ou seja, não muda se mudarmos o observador. No contexto dos tensores eletromagnéticos, os invariantes são combinações de componentes dos tensores que não mudam quando aplicamos transformações de Lorentz.
Os invariantes que precisamos calcular são:
G^mu nu = 12 epsilon^mu nu alpha beta Falpha beta
Aqui, é frequentemente definido como o tensor dual de , ou seja:
onde é o tensor de Levi-Civita, que é totalmente antissimétrico.
Passo 3
Vamos começar calculando o primeiro invariante F^mu nu = 0 & E1c & E2c & E3c -E1c & 0 & B3 & -B2 -E2c & -B3 & 0 & B1 -E3c & B2 & -B1 & 0 . Isso significa que vamos multiplicar o tensor F^mu nu Fmu nu = 2( E^2c^2 - B^2 ) por si mesmo, somando sobre os índices repetidos.
Dado o tensor :
A multiplicação resulta em:
Passo 4
Agora, vamos calcular o segundo invariante F^mu nu Gmu nu = 0 . Como é o tensor dual de , este produto resulta em:
Isso ocorre porque os tensores e são ortogonais no sentido dos produtos internos dos tensores.
Passo 5
Por fim, calculamos o terceiro invariante G^mu nu Gmu nu = -2( E^2c^2 - B^2 ) . Usando a definição do tensor dual, encontramos: