Considere uma partícula em um potencial de simetria cilíndrica. Sejam
e
as coordenadas cilíndricas de uma partícula de massa
,
. Suponha que a energia potencial dessa partícula só dependa de
. Lembramos que:
Seja
o operador cuja ação, na representação
, é de trocar
por
(reflexão em relação ao plano
);
comuta com
? Mostre que
anticomuta com
. Deduza que
é um autovetor de
; qual o seu autovalor? Que podemos concluir a respeito da degenerescência dos níveis de energia da partícula? Poderíamos prever esse resultado diretamente à partir da equação diferencial em (b)?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você nos deu um exercício sobre uma partícula em um potencial de simetria cilíndrica. Isso envolve conceitos de Mecânica Quântica, especificamente sobre operadores de simetria e seus comutadores. Para resolver, vamos precisar entender sobre operadores que refletem coordenadas, o operador Hamiltoniano (
), e o operador momento angular $ \hat{L}_z $. Também vamos usar propriedades de comutação e anticomutação de operadores.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar se o operador
, que reflete
para
, comuta com o Hamiltoniano
.
O Hamiltoniano para nossa partícula é dado por:
Como a energia potencial $ V $ depende apenas de $ \rho $, que é
, e como refletir $ y $ para
não altera $ \rho $, o operador
também deixa $ V(\rho) $ inalterado.
Agora, vamos ver o termo cinético. O operador momento
nas coordenadas cilíndricas envolve derivadas em relação a $ \rho $ e $ \phi $. Refletir $ y $ para
muda
para
.
Calculando
e
, percebemos que ambos os termos do Hamiltoniano permanecem os mesmos após a reflexão. Portanto:
Conclusão:
comuta com
.
Passo 3
Agora, vamos mostrar que
anticomuta com $ \hat{L}_z $, ou seja:
Primeiro, lembramos que o operador momento angular $ \hat{L}_z $ nas coordenadas cilíndricas é dado por:
A ação de
em uma função de $ \phi $ é substituir $ \phi $ por $ -\phi $. Vamos aplicar os operadores na anticomutação:
Somando os dois termos:
Conclusão:
e $ \hat{L}_z $ anticomutam.
Passo 4
Agora, vamos deduzir que
é um autovetor de $ \hat{L}_z $ e encontrar o seu autovalor.
Sabemos que
é um autovetor de $ \hat{L}_z $ com autovalor $ m\hbar $:
Aplicando
a
:
Portanto,
Isso mostra que
é um autovetor de $ \hat{L}_z $ com autovalor $ -m\hbar $.
Passo 5
Finalmente, vamos discutir a degenerescência dos níveis de energia.
Como
comuta com o Hamiltoniano
, isso indica que
e
possuem um conjunto comum de autovetores. Além disso, mostramos que
transforma um estado com momento angular $ m\hbar $ em outro com momento angular $ -m\hbar $. Isso significa que para cada estado
, existe um estado distinto
com a mesma energia, porém com momento angular oposto.
Conclusão: Os níveis de energia são pelo menos duas vezes degenerados para $ m \neq 0 $, já que cada estado com $ m $ tem um parceiro com $ -m $.
Quanto à última pergunta, sim, poderíamos prever esse resultado diretamente a partir da equação diferencial. A simetria no potencial implica que a energia não depende de $ \phi $, levando automaticamente à degenerescência em $ m $ e $ -m $.
Resposta
Os níveis de energia são pelo menos duas vezes degenerados para valores de $ m $ diferentes de zero, já que cada estado
possui um correspondente
com o mesmo nível de energia, mas com momento angular $ -m\hbar $. Além disso, essa degenerescência pode ser prevista diretamente a partir da simetria cilíndrica do potencial na equação diferencial.