Considere uma partícula em um potencial de simetria cilíndrica. Sejam rho, varphi e z as coordenadas cilíndricas de uma partícula de massa mu sem spin(x=rho cos varphi, y=rho sin varphi ; rho >= 0,0 <= varphi <= 2 pi). Suponha que a energia potencial dessa partícula só dependa de rho. Lembramos que:
partial^2partial x^2+partial^2partial y^2=partial^2partial rho^2+1rho partialpartial rho+1rho^2 partial^2partial varphi^2
Seja Sigmay o operador cuja ação, na representação |rrang<=, é de trocar y por -y (reflexão em relação ao plano x O z ); Sigmay comuta com H ? Mostre que Sigmay anticomuta com Lz. Deduza que Sigmay|n m krang<= é um autovetor de Lz; qual o seu autovalor? Que podemos concluir a respeito da degenerescência dos níveis de energia da partícula? Poderíamos prever esse resultado diretamente à partir da equação diferencial em (b)?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você nos deu um exercício sobre uma partícula em um potencial de simetria cilíndrica. Isso envolve conceitos de Mecânica Quântica, especificamente sobre operadores de simetria e seus comutadores. Para resolver, vamos precisar entender sobre operadores que refletem coordenadas, o operador Hamiltoniano ( H), e o operador momento angular $ \hat{L}_z $. Também vamos usar propriedades de comutação e anticomutação de operadores.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar se o operador Sigmay, que reflete y para -y, comuta com o Hamiltoniano H.
O Hamiltoniano para nossa partícula é dado por:
H = p^22mu + V(rho)
Como a energia potencial $ V $ depende apenas de $ \rho $, que é V , e como refletir $ y $ para rho não altera $ \rho $, o operador raizx^2 + y^2 também deixa $ V(\rho) $ inalterado.
Agora, vamos ver o termo cinético. O operador momento y nas coordenadas cilíndricas envolve derivadas em relação a $ \rho $ e $ \phi $. Refletir $ y $ para -y muda rho para Sigmay.
Calculando V(rho) e p, percebemos que ambos os termos do Hamiltoniano permanecem os mesmos após a reflexão. Portanto:
rho
Conclusão: phi comuta com y .

Passo 3

Agora, vamos mostrar que Sigmay anticomuta com $ \hat{L}_z $, ou seja:
Lz
Primeiro, lembramos que o operador momento angular $ \hat{L}_z $ nas coordenadas cilíndricas é dado por:
Sigmay, Lz = Sigmay Lz + Lz Sigmay = 0
A ação de Lz em uma função de $ \phi $ é substituir $ \phi $ por $ -\phi $. Vamos aplicar os operadores na anticomutação:
Lz = -ihbar partialpartial phi
Sigmay
Somando os dois termos:
phi
Conclusão: phi e $ \hat{L}_z $ anticomutam.

Passo 4

Agora, vamos deduzir que Sigmay |n m krang<= é um autovetor de $ \hat{L}_z $ e encontrar o seu autovalor.
Sabemos que Lz é um autovetor de $ \hat{L}_z $ com autovalor $ m\hbar $:
|n m krang<=
Aplicando Lz a mhbar :
Lz |n m krang<= = mhbar |n m krang<=
Portanto,
Lz
Isso mostra que Sigmay |n m krang<= é um autovetor de $ \hat{L}_z $ com autovalor $ -m\hbar $.

Passo 5

Finalmente, vamos discutir a degenerescência dos níveis de energia.
Como Sigmay comuta com o Hamiltoniano H, isso indica que Sigmay e H possuem um conjunto comum de autovetores. Além disso, mostramos que Sigmay transforma um estado com momento angular $ m\hbar $ em outro com momento angular $ -m\hbar $. Isso significa que para cada estado mhbar , existe um estado distinto -mhbar com a mesma energia, porém com momento angular oposto.
Conclusão: Os níveis de energia são pelo menos duas vezes degenerados para $ m \neq 0 $, já que cada estado com $ m $ tem um parceiro com $ -m $.
Quanto à última pergunta, sim, poderíamos prever esse resultado diretamente a partir da equação diferencial. A simetria no potencial implica que a energia não depende de $ \phi $, levando automaticamente à degenerescência em $ m $ e $ -m $.

Resposta

Os níveis de energia são pelo menos duas vezes degenerados para valores de $ m $ diferentes de zero, já que cada estado m possui um correspondente |n m krang<= com o mesmo nível de energia, mas com momento angular $ -m\hbar $. Além disso, essa degenerescência pode ser prevista diretamente a partir da simetria cilíndrica do potencial na equação diferencial.

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