Uma partícula de massa m é colocada em um potencial esférico finito:
V(r)= 0, & se r <= a V0, & se r>a
Ache o estado ligado resolvendo a equação radial com l=0. Mostre que não existe estado ligado se V0 a^2.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que trata de encontrar o estado ligado de uma partícula de massa em um potencial esférico finito. O conteúdo da matéria está relacionado à Mecânica Quântica, especificamente à resolução da Equação de Schrödinger para potenciais esféricos. Para resolver esse problema, precisaremos usar a equação radial da Schrödinger com o momento angular e analisar as condições para a existência de estados ligados.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação radial da Schrödinger para -hbar^22m d^2u(r)dr^2 + V(r)u(r) = Eu(r) :
Aqui, é a função radial, é a constante de Planck reduzida, é o potencial, e é a energia da partícula.

Passo 3

O potencial V(r) = 0, & se r <= a V0, & se r > a é definido por:
Vamos resolver a equação em duas regiões distintas: e .

Passo 4

Para -hbar^22m d^2u(r)dr^2 = Eu(r) :
O potencial d^2u(r)dr^2 = 2m|E|hbar^2 u(r) = k^2 u(r) . A equação se simplifica para:
u(r) = A sin(kr) + B cos(kr)
Como estamos procurando estados ligados, a energia é negativa. Vamos definir , então a equação fica:
A solução geral é:
Onde .

Passo 5

Aplicamos a condição de regularidade no centro ( u(0) = B cos(0) = B = 0 ), que exige que u(r) = A sin(kr) :
Portanto, a solução na região interna é:

Passo 6

Para -hbar^22m d^2u(r)dr^2 + V0u(r) = Eu(r) :
O potencial d^2u(r)dr^2 = 2m(V0 + |E|)hbar^2 u(r) = kappa^2 u(r) . A equação radial se torna:
u(r) = C e^-kappa r
Substituindo :
A solução que decai para é:
Onde .

Passo 7

Agora, aplicamos as condições de continuidade em A sin(ka) = C e^-kappa a :
  1. Continuidade da função de onda:
A k cos(ka) = -C kappa e^-kappa a
  1. Continuidade da derivada da função de onda:

Passo 8

Dividindo a segunda equa�o pela primeira para eliminar A k cos(ka)A sin(ka) = -C kappa e^-kappa aC e^-kappa a Rightarrow k cot(ka) = -kappa :
k cot(ka) = -kappa
Portanto, obtemos a condição de contorno:

Passo 9

Substituindo k cot(ka) = -raiz2m(V0 + |E|)hbar^2 = -raiz2mV0hbar^2 + k^2 em termos de k cot(ka) = -raiz2mV0hbar^2 + k^2 :
Para simplificar, consideramos pequeno em comparação com , então :

Passo 10

A existência de soluções reais para V0 a^2 < pi^2 hbar^28m exige que o lado esquerdo seja igual ao direito. Analisando a equação, observamos que soluções existem somente se for suficientemente grande. Especificamente, se:
não há solução real para , ou seja, não existe estado ligado.

Resposta

Portanto, mostramos que não existe estado ligado se .

Exercícios relacionados