Uma partícula de massa
é colocada em um potencial esférico finito:
Ache o estado ligado resolvendo a equação radial com
. Mostre que não existe estado ligado se
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que trata de encontrar o estado ligado de uma partícula de massa
em um potencial esférico finito. O conteúdo da matéria está relacionado à Mecânica Quântica, especificamente à resolução da Equação de Schrödinger para potenciais esféricos. Para resolver esse problema, precisaremos usar a equação radial da Schrödinger com o momento angular
e analisar as condições para a existência de estados ligados.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação radial da Schrödinger para
:
Aqui,
é a função radial,
é a constante de Planck reduzida,
é o potencial, e
é a energia da partícula.
Passo 3
O potencial
é definido por:
Vamos resolver a equação em duas regiões distintas:
e
.
Passo 4
Para
:
O potencial
. A equação se simplifica para:
Como estamos procurando estados ligados, a energia
é negativa. Vamos definir
, então a equação fica:
A solução geral é:
Onde
.
Passo 5
Aplicamos a condição de regularidade no centro (
), que exige que
:
Portanto, a solução na região interna é:
Passo 6
Para
:
O potencial
. A equação radial se torna:
Substituindo
:
A solução que decai para
é:
Onde
.
Passo 7
Agora, aplicamos as condições de continuidade em
:
- Continuidade da função de onda:
- Continuidade da derivada da função de onda:
Passo 8
Dividindo a segunda equa�o pela primeira para eliminar
:
Portanto, obtemos a condição de contorno:
Passo 9
Substituindo
em termos de
:
Para simplificar, consideramos
pequeno em comparação com
, então
:
Passo 10
A existência de soluções reais para
exige que o lado esquerdo seja igual ao direito. Analisando a equação, observamos que soluções existem somente se
for suficientemente grande. Especificamente, se:
não há solução real para
, ou seja, não existe estado ligado.
Resposta
Portanto, mostramos que não existe estado ligado se
.