Uma partícula de massa se move conforme as equações: . Determine o momento angular em qualquer instante , a força e o torque sobre a partícula.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula de massa que se movimenta de acordo com as equações:
Queremos determinar três coisas:
  1. O momento angular em qualquer instante ,
  2. A força que atua na partícula,
  3. E o torque sobre a partícula.
Vamos precisar usar conceitos de cinemática para encontrar posição, velocidade e aceleração, além de conceitos de dinâmica relacionados ao momento angular, força e torque.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor posição da partícula. As equações dadas já estão nas componentes de , e , então podemos escrever:
Mas como e já sabemos , podemos substituir:
Portanto, o vetor posição fica:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a velocidade . A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
Derivando cada componente:
Então, a velocidade é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a aceleração . A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Derivando cada componente:
Então, a aceleração é:

Passo 5

Vamos agora calcular o momento linear . O momento linear é dado por:
Substituindo a velocidade que encontramos:

Passo 6

Agora, vamos determinar o momento angular . O momento angular é dado pelo produto vetorial da posição pelo momento linear:
Utilizando os vetores que já temos:
Calculando o produto vetorial:
Resolvendo o determinante:
Simplificando:
Simplificando mais:

Passo 7

Agora, vamos encontrar a força que atua na partícula. A força é dada pela segunda lei de Newton:
Usando a aceleração que calculamos:
Então:

Passo 8

Por fim, vamos determinar o torque sobre a partícula. O torque é dado pelo produto vetorial da posição pela força:
Utilizando os vetores que já temos:
Calculando o produto vetorial:
Resolvendo o determinante:
Simplificando:
Simplificando mais:

Resposta

Então, as soluções são:
  • Momento angular:
  • Força:
  • Torque:

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