Uma partícula de massa se move conforme as equações: . Determine o momento angular em qualquer instante , a força e o torque sobre a partícula.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula de massa que se movimenta de acordo com as equações:
Queremos determinar três coisas:
O momento angular em qualquer instante ,
A força que atua na partícula,
E o torque sobre a partícula.
Vamos precisar usar conceitos de cinemática para encontrar posição, velocidade e aceleração, além de conceitos de dinâmica relacionados ao momento angular, força e torque.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor posição da partícula. As equações dadas já estão nas componentes de , e , então podemos escrever:
Mas como e já sabemos , podemos substituir:
Portanto, o vetor posição fica:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a velocidade . A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
Derivando cada componente:
Então, a velocidade é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a aceleração . A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Derivando cada componente:
Então, a aceleração é:
Passo 5
Vamos agora calcular o momento linear . O momento linear é dado por:
Substituindo a velocidade que encontramos:
Passo 6
Agora, vamos determinar o momento angular . O momento angular é dado pelo produto vetorial da posição pelo momento linear:
Utilizando os vetores que já temos:
Calculando o produto vetorial:
Resolvendo o determinante:
Simplificando:
Simplificando mais:
Passo 7
Agora, vamos encontrar a força que atua na partícula. A força é dada pela segunda lei de Newton:
Usando a aceleração que calculamos:
Então:
Passo 8
Por fim, vamos determinar o torque sobre a partícula. O torque é dado pelo produto vetorial da posição pela força: