Uma partícula de massa se move conforme as equações: . Determine o momento angular em qualquer instante , a força e o torque sobre a partícula.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula de massa que se movimenta de acordo com as equações:
Queremos determinar três coisas:
O momento angular em qualquer instante ,
A força que atua na partícula,
E o torque sobre a partícula.
Vamos precisar usar conceitos de cinemática para encontrar posição, velocidade e aceleração, além de conceitos de dinâmica relacionados ao momento angular, força e torque.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor posição da partícula. As equações dadas já estão nas componentes de , e , então podemos escrever:
Mas como e já sabemos , podemos substituir:
Portanto, o vetor posição fica:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a velocidade v(t) = dr(t)dt . A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
vx = ddt(x0 + a t^2) = 2a t
Derivando cada componente:
vy = ddt(b t^3) = 3b t^2
vz = ddt(c b t^3) = 3c b t^2
v(t) = 2a t 3b t^2 3c b t^2
Então, a velocidade é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a aceleração a(t) = dv(t)dt . A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
ax = ddt(2a t) = 2a
Derivando cada componente:
ay = ddt(3b t^2) = 6b t
az = ddt(3c b t^2) = 6c b t
a(t) = 2a 6b t 6c b t
Então, a aceleração é:
Passo 5
Vamos agora calcular o momento linear p = m v(t) . O momento linear é dado por:
p = m 2a t 3b t^2 3c b t^2
Substituindo a velocidade que encontramos:
p = 2m a t 3m b t^2 3m c b t^2
Passo 6
Agora, vamos determinar o momento angular L = r(t) times p . O momento angular é dado pelo produto vetorial da posição pelo momento linear:
r(t) = x0 + a t^2 b t^3 c b t^3 , p = 2m a t 3m b t^2 3m c b t^2
Utilizando os vetores que já temos:
L = i & j & k x0 + a t^2 & b t^3 & c b t^3 2m a t & 3m b t^2 & 3m c b t^2
Calculando o produto vetorial:
L = i ( b t^3 cdot 3m c b t^2 - c b t^3 cdot 3m b t^2 ) - j ( (x0 + a t^2) cdot 3m c b t^2 - c b t^3 cdot 2m a t ) + k ( (x0 + a t^2) cdot 3m b t^2 - b t^3 cdot 2m a t )
Resolvendo o determinante:
L = i (3m b c b t^5 - 3m b c b t^5) - j (3m c b (x0 + a t^2) t^2 - 2m a c b t^4) + k (3m b (x0 + a t^2) t^2 - 2m a b t^4)
Simplificando:
L = i (0) - j (3m c b x0 t^2 + 3m c b a t^4 - 2m a c b t^4) + k (3m b x0 t^2 + 3m b a t^4 - 2m a b t^4)
L = -j (3m c b x0 t^2 + m c b a t^4) + k (3m b x0 t^2 + m b a t^4)
Simplificando mais:
Passo 7
Agora, vamos encontrar a força F = m a(t) que atua na partícula. A força é dada pela segunda lei de Newton:
a(t) = 2a 6b t 6c b t
Usando a aceleração que calculamos:
F = m 2a 6b t 6c b t
Então:
F = 2m a 6m b t 6m c b t
Passo 8
Por fim, vamos determinar o torque N = r(t) times F sobre a partícula. O torque é dado pelo produto vetorial da posição pela força:
r(t) = x0 + a t^2 b t^3 c b t^3 , F = 2m a 6m b t 6m c b t
Utilizando os vetores que já temos:
N = i & j & k x0 + a t^2 & b t^3 & c b t^3 2m a & 6m b t & 6m c b t
Calculando o produto vetorial:
N = i (b t^3 cdot 6m c b t - c b t^3 cdot 6m b t) - j ((x0 + a t^2) cdot 6m c b t - c b t^3 cdot 2m a) + k ((x0 + a t^2) cdot 6m b t - b t^3 cdot 2m a)
Resolvendo o determinante:
N = i (6m b c b t^4 - 6m b c b t^4) - j (6m c b (x0 + a t^2) t - 2m a c b t^3) + k (6m b (x0 + a t^2) t - 2m a b t^3)
Simplificando:
N = i (0) - j (6m c b x0 t + 6m c b a t^3 - 2m a c b t^3) + k (6m b x0 t + 6m b a t^3 - 2m a b t^3)
N = -j (6m c b x0 t + 4m c b a t^3) + k (6m b x0 t + 4m b a t^3)
Simplificando mais:
Resposta
Então, as soluções são:
Momento angular:
L = -j (3m c b x0 t^2 + m c b a t^4) + k (3m b x0 t^2 + m b a t^4)
Força:
F = 2m a 6m b t 6m c b t
Torque:
N = -j (6m c b x0 t + 4m c b a t^3) + k (6m b x0 t + 4m b a t^3)