Uma dada massa em repouso é submetida a uma força . Determine e .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma massa que está parada inicialmente e recebe uma força que varia com o tempo, dada por . Nosso objetivo é encontrar a velocidade e a posição dessa massa ao longo do tempo. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de leis de Newton, integração e cálculo de funções trigonométricas.

Passo 2

A segunda lei de Newton nos diz que a força aplicada em um objeto é igual à massa multiplicada pela aceleração do objeto:
Como queremos encontrar a velocidade, precisamos primeiro encontrar a aceleração.

Passo 3

Isolando a aceleração na equação:
Então, a aceleração é:

Passo 4

Sabemos que aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Para encontrar , vamos integrar a aceleração em relação ao tempo.

Passo 5

Integrando para encontrar :
Para facilitar a integração, usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando isso:

Passo 6

Integrando cada termo separadamente:
Como a massa está inicialmente em repouso, a velocidade inicial . Substituindo :
Portanto:

Passo 7

Agora, para encontrar a posição , sabemos que a velocidade é a derivada da posição:
Então, vamos integrar para encontrar .

Passo 8

Integrando :
Integrando cada termo:
Como a massa está inicialmente em repouso na posição :
Assim, a posição é:
Podemos simplificar unindo os termos constantes:

Resposta

As funções de velocidade e posição da massa são:

Exercícios relacionados

Uma partícula de massa se move conforme as equações: . Determine o momento angular em qualquer instante , a força e o torque sobre a partícula.
Considerando o exercício anterior, se o coeficiente de atrito estático entre o bloco e o plano inclinado é , qual o ângulo que o bloco começará seu movimento estando inicialmente está em repouso?
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D3. Uma bola B é liberada do repouso do ; ( ) Nenhuma das alternativas.
f 1.0 03. Uma bola B é liberada do repouso do topo de um prédio no mesmo instante em que uma bola A é lançada velocidade de B é duas vezes maior que a velocidade de A. E