Uma dada massa m em repouso é submetida a uma força F(t)=F0 sin ^2 omega t. Determine v=v(t) e x=x(t).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma massa que está parada inicialmente e recebe uma força que varia com o tempo, dada por . Nosso objetivo é encontrar a velocidade e a posição dessa massa ao longo do tempo. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de leis de Newton, integração e cálculo de funções trigonométricas.

Passo 2

A segunda lei de Newton nos diz que a força F(t) = m cdot a(t) aplicada em um objeto é igual à massa multiplicada pela aceleração do objeto:
Como queremos encontrar a velocidade, precisamos primeiro encontrar a aceleração.

Passo 3

Isolando a aceleração a(t) = F(t)m = F0 sin^2(omega t)m na equação:
a(t) = F0m sin^2(omega t)
Então, a aceleração é:

Passo 4

Sabemos que aceleração a(t) = dv(t)dt é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Para encontrar , vamos integrar a aceleração em relação ao tempo.

Passo 5

Integrando v(t) = integral a(t) , dt = integral F0m sin^2(omega t) , dt para encontrar sin^2(theta) = 1 - cos(2theta)2 :
v(t) = F0m integral 1 - cos(2omega t)2 , dt = F02m integral (1 - cos(2omega t)) , dt
Para facilitar a integração, usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando isso:

Passo 6

Integrando cada termo separadamente:
v(t) = F02m ( integral 1 , dt - integral cos(2omega t) , dt ) = F02m ( t - sin(2omega t)2omega ) + C
Como a massa está inicialmente em repouso, a velocidade inicial 0 = F02m ( 0 - 0 ) + C Rightarrow C = 0 . Substituindo v(t) = F02m ( t - sin(2omega t)2omega ) :
Portanto:

Passo 7

Agora, para encontrar a posição v(t) = dx(t)dt , sabemos que a velocidade é a derivada da posição:
Então, vamos integrar para encontrar .

Passo 8

Integrando x(t) = integral v(t) , dt = integral F02m ( t - sin(2omega t)2omega ) dt = F02m ( integral t , dt - integral sin(2omega t)2omega , dt ) + D :
x(t) = F02m ( t^22 + cos(2omega t)4omega^2 ) + D
Integrando cada termo:
0 = F02m ( 0 + 14omega^2 ) + D Rightarrow D = -F08momega^2
Como a massa está inicialmente em repouso na posição x(t) = F04m t^2 + F08momega^2 cos(2omega t) - F08momega^2 :
x(t) = F04m t^2 + F08momega^2 ( cos(2omega t) - 1 )
Assim, a posição é:
Podemos simplificar unindo os termos constantes:

Resposta

As funções de velocidade e posição da massa são:
v(t) = F02m ( t - sin(2omega t)2omega )
x(t) = F04m t^2 + F08momega^2 ( cos(2omega t) - 1 )

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