Uma dada massa
em repouso é submetida a uma força
. Determine
e
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma massa
que está parada inicialmente e recebe uma força que varia com o tempo, dada por
. Nosso objetivo é encontrar a velocidade
e a posição
dessa massa ao longo do tempo. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de leis de Newton, integração e cálculo de funções trigonométricas.
Passo 2
A segunda lei de Newton nos diz que a força
aplicada em um objeto é igual à massa
multiplicada pela aceleração
do objeto:
Como queremos encontrar a velocidade, precisamos primeiro encontrar a aceleração.
Passo 3
Isolando a aceleração
na equação:
Então, a aceleração é:
Passo 4
Sabemos que aceleração
é a derivada da velocidade
em relação ao tempo:
Para encontrar
, vamos integrar a aceleração em relação ao tempo.
Passo 5
Integrando
para encontrar
:
Para facilitar a integração, usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando isso:
Passo 6
Integrando cada termo separadamente:
Como a massa está inicialmente em repouso, a velocidade inicial
. Substituindo
:
Portanto:
Passo 7
Agora, para encontrar a posição
, sabemos que a velocidade é a derivada da posição:
Então, vamos integrar
para encontrar
.
Passo 8
Integrando
:
Integrando cada termo:
Como a massa está inicialmente em repouso na posição
:
Assim, a posição é:
Podemos simplificar unindo os termos constantes:
Resposta
As funções de velocidade e posição da massa são:
Exercícios relacionados
Uma partícula de massa
se move conforme as equações:
. Determine o momento angular
em qualquer instante
, a força
e o torque
sobre a partícula.
Considerando o exercício anterior, se o coeficiente de atrito estático entre o bloco e o plano inclinado é
, qual o ângulo
que o bloco começará seu movimento estando inicialmente está em repouso?
Considere uma partícula submetida a uma força dada por:
e
. Determine se esta é uma força conservativa. Calcule o trabalho realizado por esta força, quando a partícula se move ao longo de uma linha reta a partir da origem até o ponto
.
D3. Uma bola B é liberada do repouso do
; ( )
Nenhuma das alternativas.
f 1.0 03. Uma bola B é liberada do repouso do topo de um prédio no mesmo instante em que uma bola A é lançada velocidade de B é duas vezes maior que a velocidade de A. E
f 1.0 03. Uma bola B é liberada do repouso do topo de um prédio no mesmo instante em que uma bola A é lançada velocidade de B é duas vezes maior que a velocidade de A. E