Considere um pequeno disco, sem atrito, posto no topo de uma esfera fixa de raio R. Se o disco recebe um pequeno impulso, de modo que ele escorregue para baixo, até que altura vertical ele irá descer antes de deixar a superficie da esfera?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um pequeno disco sem atrito no topo de uma esfera fixa com raio . Quando o disco recebe um pequeno impulso, ele começa a deslizar pela superfície da esfera. Queremos descobrir até que altura vertical o disco desce antes de se desprender da superfície da esfera.
Para resolver isso, vamos precisar usar dois conceitos de física:
  1. Conservação de Energia: Essa lei nos diz que a energia total no sistema permanece constante se não houver perda de energia.
  2. Forças em Movimento Circular: Precisamos analisar as forças atuando sobre o disco quando ele está se movendo pela esfera.

Passo 2

Vamos começar aplicando a conservação de energia. No ponto de partida, o disco está no topo da esfera, e toda a sua energia é potencial gravitacional. Quando ele desce até uma altura Ep = mgh0 , parte dessa energia se transforma em energia cinética.
A energia potencial inicial ( Ep' = mgh ) é:
Ek = 12mv^2
onde Ep = Ep' + Ek (a altura inicial é igual ao raio da esfera).
A energia potencial final ( mgh0 = mgh + 12mv^2 ) quando o disco está a uma altura gh0 = gh + 12v^2 é:
v^2 = 2g(h0 - h)
A energia cinética ( ) no ponto onde o disco está a altura é:
Pela conservação de energia:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos analisar as forças atuantes no disco na altura N + mv^2R = mgcostheta . Existem duas forças principais:
  1. Força Normal ( mv^2R = mgcostheta ): A força que a superfície da esfera exerce sobre o disco.
  2. Força Gravitacional ( v^2 = gRcostheta ): A força da gravidade puxando o disco para baixo.
No ponto onde o disco começa a se desprender, a força normal se torna zero. Aplicando a segunda lei de Newton na direção radial (perpendicular à superfície da esfera):
Quando :
Simplificando:

Passo 4

Agora temos duas expressões para v^2 = 2g(R - h) :
  1. Da conservação de energia:
v^2 = gRcostheta
  1. Das forças:
2g(R - h) = gRcostheta
Igualando as duas:
2(R - h) = Rcostheta
Simplificando cancelando h = R(1 - costheta) :
2(R - R(1 - costheta)) = Rcostheta
Como a altura 2Rcostheta = Rcostheta é a componente vertical, podemos relacionar 2costheta = costheta e costheta = 23 pela relação:
Substituindo na equação anterior:
O que leva a:

Passo 5

Agora que encontramos h = R(1 - costheta) = R(1 - 23) = R cdot 13 = R3 , podemos encontrar a altura :

Resposta

A altura vertical que o disco desce antes de deixar a superfície da esfera é .

Exercícios relacionados

Uma partícula de massa m é abandonada em repouso a uma distância b de um centro fixo de força que atraí a partícula de acordo com a lei do inverso do quadrado
F(x)=-k x^-2
Mostre que o tempo necessário para a partícula chegar à origem é:
pi raizm b^38 k
Prove que, se a força atuante sobre uma partícula é dada por F=-nabla U, então o trabalho total realizado ao mover a partícula de P1 a P2, ao longo de uma trajetória C é
W=integralP1^P2 F cdot d r=U(P1)-U(P2)
Determine o rotacional, nabla times F, para as seguintes forças: (a) F=k r; (b) F=(A x, B y^2, C z^3); © F= ( A y^2, B x, C z ), onde A, B, C e k são constantes.
Quais das seguintes forças são conservativas? (a) F=k(x, 2 y, 3 z), onde k é uma constante. (b) F= k(y, x, 0) © F=k(-y, x, 0). Para aquelas que são conservativas, determine a energia potencial U correspondente e verifique por derivação direta que F=-nabla U.