Considere um pequeno disco, sem atrito, posto no topo de uma esfera fixa de raio
. Se o disco recebe um pequeno impulso, de modo que ele escorregue para baixo, até que altura vertical ele irá descer antes de deixar a superficie da esfera?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um pequeno disco sem atrito no topo de uma esfera fixa com raio
. Quando o disco recebe um pequeno impulso, ele começa a deslizar pela superfície da esfera. Queremos descobrir até que altura vertical
o disco desce antes de se desprender da superfície da esfera.
Para resolver isso, vamos precisar usar dois conceitos de física:
- Conservação de Energia: Essa lei nos diz que a energia total no sistema permanece constante se não houver perda de energia.
- Forças em Movimento Circular: Precisamos analisar as forças atuando sobre o disco quando ele está se movendo pela esfera.
Passo 2
Vamos começar aplicando a conservação de energia. No ponto de partida, o disco está no topo da esfera, e toda a sua energia é potencial gravitacional. Quando ele desce até uma altura
, parte dessa energia se transforma em energia cinética.
A energia potencial inicial (
) é:
onde
(a altura inicial é igual ao raio da esfera).
A energia potencial final (
) quando o disco está a uma altura
é:
A energia cinética (
) no ponto onde o disco está a altura
é:
Pela conservação de energia:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos analisar as forças atuantes no disco na altura
. Existem duas forças principais:
- Força Normal (
): A força que a superfície da esfera exerce sobre o disco. - Força Gravitacional (
): A força da gravidade puxando o disco para baixo.
No ponto onde o disco começa a se desprender, a força normal
se torna zero. Aplicando a segunda lei de Newton na direção radial (perpendicular à superfície da esfera):
Quando
:
Simplificando:
Passo 4
Agora temos duas expressões para
:
- Da conservação de energia:
- Das forças:
Igualando as duas:
Simplificando cancelando
:
Como a altura
é a componente vertical, podemos relacionar
e
pela relação:
Substituindo na equação anterior:
O que leva a:
Passo 5
Agora que encontramos
, podemos encontrar a altura
:
Resposta
A altura vertical que o disco desce antes de deixar a superfície da esfera é
.
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, então o trabalho total realizado ao mover a partícula de
a
, ao longo de uma trajetória
é
Determine o rotacional,
, para as seguintes forças: (a)
; (b)
; ©
(
), onde
e
são constantes.
Quais das seguintes forças são conservativas? (a)
, onde
é uma constante. (b)
©
. Para aquelas que são conservativas, determine a energia potencial
correspondente e verifique por derivação direta que
.