Uma partícula de massa
é abandonada em repouso a uma distância
de um centro fixo de força que atraí a partícula de acordo com a lei do inverso do quadrado
Mostre que o tempo necessário para a partícula chegar à origem é:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que uma partícula com massa
é solta do repouso a uma distância
de um ponto fixo que exerce uma força atrativa seguindo a lei do inverso do quadrado:
Nosso objetivo é encontrar o tempo que a partícula leva para chegar até a origem (onde a força está concentrada). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de Leis de Newton e Cálculo de Integrais para determinar o movimento da partícula sob essa força.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da segunda lei de Newton, que relaciona força (
) com massa (
) e aceleração (
):
Aqui, a aceleração
é a segunda derivada da posição
em relação ao tempo
:
Então, podemos escrever:
Passo 3
Vamos reorganizar essa equação para isolar a aceleração:
Essa é uma equação diferencial que descreve como a posição
da partícula varia com o tempo sob a força dada.
Passo 4
Agora, para resolver essa equação, vamos usar uma técnica comum em problemas de movimento: multiplicar ambos os lados por
(a velocidade) e integrar. Isso nos ajuda a reduzir a ordem da equação. Então temos:
Integramos ambos os lados em relação ao tempo
.
Passo 5
A integração do lado esquerdo fica:
E a integração do lado direito:
Onde
é a constante de integração. Como a partícula parte do repouso, a velocidade inicial é zero quando
, então:
Assim, temos:
Passo 6
Vamos resolver para
:
O sinal negativo aparece porque a partícula está se movendo em direção à origem, ou seja, diminuindo
.
Passo 7
Separando as variáveis para integração, temos:
Vamos integrar ambos os lados de
até
para encontrar o tempo total
:
Podemos simplificar a integral invertendo os limites e adicionando um sinal negativo:
Passo 8
Para facilitar a integração, fazemos uma substituição de variável. Vamos definir:
Resolvendo para
e substituindo na integral, eventualmente chegaremos a uma integral que envolve funções trigonométricas que, após resolver, resultam em:
Resposta
O tempo necessário para a partícula chegar à origem é: