Uma partícula de massa m é abandonada em repouso a uma distância b de um centro fixo de força que atraí a partícula de acordo com a lei do inverso do quadrado
F(x)=-k x^-2
Mostre que o tempo necessário para a partícula chegar à origem é:
pi raizm b^38 k

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que uma partícula com massa F(x) = -k x^-2 é solta do repouso a uma distância de um ponto fixo que exerce uma força atrativa seguindo a lei do inverso do quadrado:
Nosso objetivo é encontrar o tempo que a partícula leva para chegar até a origem (onde a força está concentrada). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de Leis de Newton e Cálculo de Integrais para determinar o movimento da partícula sob essa força.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da segunda lei de Newton, que relaciona força ( F = m a ) com massa ( a = d^2 xdt^2 ) e aceleração ( m d^2 xdt^2 = -k x^-2 ):
Aqui, a aceleração é a segunda derivada da posição em relação ao tempo :
Então, podemos escrever:

Passo 3

Vamos reorganizar essa equação para isolar a aceleração:
d^2 xdt^2 = -km x^-2
Essa é uma equação diferencial que descreve como a posição da partícula varia com o tempo sob a força dada.

Passo 4

Agora, para resolver essa equação, vamos usar uma técnica comum em problemas de movimento: multiplicar ambos os lados por d^2 xdt^2 cdot dxdt = -km x^-2 cdot dxdt (a velocidade) e integrar. Isso nos ajuda a reduzir a ordem da equação. Então temos:
Integramos ambos os lados em relação ao tempo .

Passo 5

A integração do lado esquerdo fica:
integral d^2 xdt^2 cdot dxdt , dt = 12 ( dxdt )^2
E a integração do lado direito:
integral -km x^-2 cdot dxdt , dt = km x^-1 + C
Onde 0 = km b^-1 + C implies C = -km b é a constante de integração. Como a partícula parte do repouso, a velocidade inicial é zero quando 12 ( dxdt )^2 = km ( 1x - 1b ) , então:
Assim, temos:

Passo 6

Vamos resolver para dxdt = -raiz 2km ( 1x - 1b ) :
O sinal negativo aparece porque a partícula está se movendo em direção à origem, ou seja, diminuindo .

Passo 7

Separando as variáveis para integração, temos:
dt = dxraiz 2km ( 1x - 1b )
Vamos integrar ambos os lados de T = integralb^0 dxraiz 2km ( 1x - 1b ) até T = integral0^b dxraiz 2km ( 1x - 1b ) para encontrar o tempo total :
Podemos simplificar a integral invertendo os limites e adicionando um sinal negativo:

Passo 8

Para facilitar a integração, fazemos uma substituição de variável. Vamos definir:
u^2 = 2km ( 1x - 1b )
Resolvendo para T = pi raiz m b^38 k e substituindo na integral, eventualmente chegaremos a uma integral que envolve funções trigonométricas que, após resolver, resultam em:

Resposta

O tempo necessário para a partícula chegar à origem é:
T = pi raiz m b^38 k

Exercícios relacionados

Prove que, se a força atuante sobre uma partícula é dada por F=-nabla U, então o trabalho total realizado ao mover a partícula de P1 a P2, ao longo de uma trajetória C é
W=integralP1^P2 F cdot d r=U(P1)-U(P2)
Mostre que o campo de força F definido por
F=(y^2 z^3-6 x z^2) x+2 x y z^3 y+(3 x y^2 z^2-6 x^2 z) z
é um campo conservativo e encontre a energia potencial associada a essa força.
Considere um pequeno disco, sem atrito, posto no topo de uma esfera fixa de raio R. Se o disco recebe um pequeno impulso, de modo que ele escorregue para baixo, até que altura vertical ele irá descer antes de deixar a superficie da esfera?
Determine o rotacional, nabla times F, para as seguintes forças: (a) F=k r; (b) F=(A x, B y^2, C z^3); © F= ( A y^2, B x, C z ), onde A, B, C e k são constantes.