Considere a pirâmide ABCDE cuja base ABCD é um quadrado de lado 12 m e cada aresta lateral mede 12 m . Suponha que o centro do quadrado A B C D seja a origem O(0,0,0) do sistema de coordenadas e que o ponto A esteja sobre o eixo x positivo. Determine as coordenadas dos pontos A, B, C, D e E.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria! A questão fala sobre uma pirâmide com base quadrada, onde cada lado da base mede 12 metros e todas as arestas laterais também medem 12 metros. A base está centrada na origem do sistema de coordenadas, e o ponto A está no eixo positivo do x. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de coordenadas no espaço e um pouquinho de trigonometria com o Teorema de Pitágoras.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar as coordenadas dos pontos da base ABCD. Como a base é um quadrado de lado 12 metros e está centrada na origem (0,0,0), cada vértice estará a uma distância de 6 metros do centro em cada direção dos eixos x e y.
  • Ponto A: Está no eixo positivo do x, então sua coordenada é (6, 0, 0).
  • Ponto B: Está no eixo positivo do y, então sua coordenada é (0, 6, 0).
  • Ponto C: Está no eixo negativo do x, então sua coordenada é (-6, 0, 0).
  • Ponto D: Está no eixo negativo do y, então sua coordenada é (0, -6, 0).

Passo 3

Agora, vamos determinar as coordenadas do ponto E, que é o vértice da pirâmide. Sabemos que cada aresta lateral (de A, B, C, D até E) mede 12 metros. Como o centro da base está na origem, o ponto E estará acima ou abaixo do centro, vamos assumir que está acima, então sua coordenada será (0, 0, h), onde h é a altura da pirâmide que precisamos encontrar.
Para encontrar h, usamos o Teorema de Pitágoras no triângulo formado pela altura h, a linha do centro da base até um vértice (que é 6√2 metros, já que a diagonal do quadrado é lado × √2), e a aresta lateral de 12 metros.
Então:
h^2 + 6^2 = 12^2
h^2 + 36 = 144
h^2 = 144 - 36
h^2 = 108
h = raiz108 = 6raiz3
Portanto, a coordenada de E é (0, 0, 6√3).

Resposta

As coordenadas dos pontos são:
  • A: (6, 0, 0)
  • B: (0, 6, 0)
  • C: (-6, 0, 0)
  • D: (0, -6, 0)
  • E: (0, 0, 6√3)

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