Sejam u=(1,1,0), v=(0,-1,1) e w=(1,1,1). É verdade que [u, v, w]=R^3 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão está perguntando se o conjunto de vetores , e gera todo o espaço tridimensional . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente espaços vetoriais e independência linear. Precisamos verificar se esses três vetores são linearmente independentes; se forem, eles formam uma base de e, portanto, geram todo o espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas:
A = 1 & 0 & 1 1 & -1 & 1 0 & 1 & 1
A ideia é calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e geram .

Passo 3

Calculando o determinante da matriz det(A) = 1 cdot (-1 cdot 1 - 1 cdot 1) - 0 cdot (1 cdot 1 - 0 cdot 1) + 1 cdot (1 cdot 1 - (-1) cdot 0) :
det(A) = 1 cdot (-1 - 1) - 0 cdot (1 - 0) + 1 cdot (1 - 0) = 1 cdot (-2) - 0 + 1 cdot 1 = -2 + 0 + 1 = -1
Vamos resolver passo a passo:

Passo 4

Como o determinante é diferente de zero, isso significa que os vetores , e são linearmente independentes. Portanto, eles não apenas geram, mas também formam uma base de .

Resposta

Sim, é verdadeiro, pois os vetores são linearmente independentes e geram todo o espaço tridimensional.

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