Considere o plano com equação
, orientado com campo normal para cima.
©
Calcule
para o campo vetorial dado por
©
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o rotacional do campo vetorial
. Isso faz parte do conteúdo de cálculo vetorial, especificamente sobre como encontrar o rotacional de um campo vetorial. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição de rotacional e calcular derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, ou rot, de um campo
é dado por:
Ou seja, precisamos calcular três componentes usando derivadas parciais das componentes de
.
Passo 3
Vamos identificar as componentes de
:
Agora, vamos calcular cada uma das derivadas parciais necessárias.
Passo 4
Primeira componente do rotacional:
Calculando:
Então:
Passo 5
Segunda componente do rotacional:
Calculando:
Então:
Passo 6
Terceira componente do rotacional:
Calculando:
Então:
Resposta
O rotacional do campo vetorial
é dado por: