Considere o plano com equação z = 10 - 2 x - y, orientado com campo normal para cima.
(a) (0,5 pt) Parametrize este plano e calcule o elemento de área orientado d S.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos dá a equação de um plano: . A gente precisa parametrizar esse plano e calcular o elemento de área orientado . Isso envolve entender como representar o plano de forma mais flexível usando parâmetros e depois encontrar uma expressão para que leva em conta a orientação do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o plano. A parametrização de um plano geralmente usa duas variáveis, digamos e , para descrever todos os pontos no plano. Assim, podemos escrever:
Aqui, é uma função vetorial que dá as coordenadas de qualquer ponto no plano em termos de e .

Passo 3

Agora, vamos calcular o elemento de área orientado . Primeiro, encontramos os vetores tangentes ao plano derivando em relação a e :
O próximo passo é calcular o produto vetorial desses dois vetores para encontrar o vetor normal ao plano:
Como o campo normal está para cima, garantimos que a componente do vetor normal seja positiva, o que já está correto.
Finalmente, o elemento de área orientado é dado por:

Resposta

O elemento de área orientado é .

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