Considere o plano de equação x+2 y z=3 e a reta r de equação (x, y, z)= (2,1,1)+t(2,1,4).
Determine o plano que contém r e que é perpendicular a .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que está sendo pedido aqui. Temos um plano com a equação e uma reta cuja equação é . A tarefa é encontrar um novo plano que contém a reta e que é perpendicular ao plano dado.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica no espaço tridimensional, especificamente sobre plano e reta, além de entender como perpendicularidade funciona entre planos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que o novo plano contém a reta . Isso quer dizer que todo ponto da reta deve satisfazer a equação do plano que estamos procurando. A reta é dada por , onde é um ponto na reta e é o vetor diretor da reta.
Para que o plano contenha a reta, ele deve passar pelo ponto e ter como vetor diretor o vetor .

Passo 3

Agora, vamos pensar na perpendicularidade entre os planos. Dois planos são perpendiculares se os seus vetores normais são perpendiculares. O vetor normal de um plano é o vetor que está perpendicular a ele e pode ser identificado pelos coeficientes das variáveis na equação do plano.
O plano dado tem a equação , então o vetor normal desse plano é .
Queremos que o novo plano seja perpendicular a este, então o vetor normal do novo plano, que vamos chamar de , deve ser perpendicular a .

Passo 4

Para encontrar , sabemos que ele deve ser perpendicular ao vetor e deve também ser paralelo ao vetor diretor da reta , que é . Isso porque o plano que contém a reta precisa ter um vetor normal que seja perpendicular ao vetor diretor da reta.
Então, temos duas condições para :
  1. (porque são perpendiculares)
  2. (porque é perpendicular ao vetor diretor da reta)

Passo 5

Vamos chamar a + 2b + c = 0 2a + b + 4c = 0 . Então, temos:
Isso nos dá um sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de , e .

Passo 6

Vamos multiplicar a primeira equação por 2:
2a + 4b + 2c = 0
Subtrai essa equação da segunda equação original:
(2a + b + 4c) - (2a + 4b + 2c) = 0 - 0 -3b + 2c = 0 -3b = -2c b = 23c
Agora, substituímos a + 2(23c) + c = 0 a + 43c + c = 0 a + 73c = 0 a = -73c na primeira equação:
a = -73 times 3 = -7 b = 23 times 3 = 2 c = 3
Podemos escolher para simplificar os cálculos:
Então, .

Passo 7

Agora que temos o vetor normal do novo plano, a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0 , e sabemos que o plano passa pelo ponto -7(x - 2) + 2(y - 1) + 3(z - 1) = 0 -7x + 14 + 2y - 2 + 3z - 3 = 0 -7x + 2y + 3z + 9 = 0 7x - 2y - 3z = 9 , podemos usar a equação geral do plano:
Substituindo os valores:

Resposta

O plano que contém a reta 7x - 2y - 3z = 9 e é perpendicular ao plano tem a equação:

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