Considere o plano de equação
e a reta
de equação
.
Determine o plano que contém
e que é perpendicular a .
Determine o plano que contém
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que está sendo pedido aqui. Temos um plano com a equação
e uma reta
cuja equação é
. A tarefa é encontrar um novo plano que contém a reta
e que é perpendicular ao plano dado.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica no espaço tridimensional, especificamente sobre plano e reta, além de entender como perpendicularidade funciona entre planos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que o novo plano contém a reta
. Isso quer dizer que todo ponto da reta
deve satisfazer a equação do plano que estamos procurando. A reta
é dada por
, onde
é um ponto na reta e
é o vetor diretor da reta.
Para que o plano contenha a reta, ele deve passar pelo ponto
e ter como vetor diretor o vetor
.
Passo 3
Agora, vamos pensar na perpendicularidade entre os planos. Dois planos são perpendiculares se os seus vetores normais são perpendiculares. O vetor normal de um plano é o vetor que está perpendicular a ele e pode ser identificado pelos coeficientes das variáveis na equação do plano.
O plano dado tem a equação
, então o vetor normal desse plano é
.
Queremos que o novo plano seja perpendicular a este, então o vetor normal do novo plano, que vamos chamar de
, deve ser perpendicular a
.
Passo 4
Para encontrar
, sabemos que ele deve ser perpendicular ao vetor
e deve também ser paralelo ao vetor diretor da reta
, que é
. Isso porque o plano que contém a reta
precisa ter um vetor normal que seja perpendicular ao vetor diretor da reta.
Então, temos duas condições para
:
-
(porque são perpendiculares) -
(porque é perpendicular ao vetor diretor da reta)
Passo 5
Vamos chamar
. Então, temos:
Isso nos dá um sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de
,
e
.
Passo 6
Vamos multiplicar a primeira equação por 2:
Subtrai essa equação da segunda equação original:
Agora, substituímos
na primeira equação:
Podemos escolher
para simplificar os cálculos:
Então,
.
Passo 7
Agora que temos o vetor normal do novo plano,
, e sabemos que o plano passa pelo ponto
, podemos usar a equação geral do plano:
Substituindo os valores:
Resposta
O plano que contém a reta
e é perpendicular ao plano
tem a equação:
Exercícios relacionados
Identi car a cônica, achar a equação no último sistema de coordenadas utilizado e fazer um esboço do grá co.
.
Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais:
e
.
Considere os planos
.
Dê um exemplo de um plano perpendicular a e a .
Dê um exemplo de um plano perpendicular a e a
Calcule a projeção ortogonal de
sobre
em cada caso.