Considere o plano de equação e a reta de equação .
Determine o plano que contém e que é perpendicular a .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que está sendo pedido aqui. Temos um plano com a equação e uma reta cuja equação é . A tarefa é encontrar um novo plano que contém a reta e que é perpendicular ao plano dado.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica no espaço tridimensional, especificamente sobre plano e reta, além de entender como perpendicularidade funciona entre planos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que o novo plano contém a reta . Isso quer dizer que todo ponto da reta deve satisfazer a equação do plano que estamos procurando. A reta é dada por , onde é um ponto na reta e é o vetor diretor da reta.
Para que o plano contenha a reta, ele deve passar pelo ponto e ter como vetor diretor o vetor .

Passo 3

Agora, vamos pensar na perpendicularidade entre os planos. Dois planos são perpendiculares se os seus vetores normais são perpendiculares. O vetor normal de um plano é o vetor que está perpendicular a ele e pode ser identificado pelos coeficientes das variáveis na equação do plano.
O plano dado tem a equação , então o vetor normal desse plano é .
Queremos que o novo plano seja perpendicular a este, então o vetor normal do novo plano, que vamos chamar de , deve ser perpendicular a .

Passo 4

Para encontrar , sabemos que ele deve ser perpendicular ao vetor e deve também ser paralelo ao vetor diretor da reta , que é . Isso porque o plano que contém a reta precisa ter um vetor normal que seja perpendicular ao vetor diretor da reta.
Então, temos duas condições para :
  1. (porque são perpendiculares)
  2. (porque é perpendicular ao vetor diretor da reta)

Passo 5

Vamos chamar . Então, temos:
Isso nos dá um sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de , e .

Passo 6

Vamos multiplicar a primeira equação por 2:
Subtrai essa equação da segunda equação original:
Agora, substituímos na primeira equação:
Podemos escolher para simplificar os cálculos:
Então, .

Passo 7

Agora que temos o vetor normal do novo plano, , e sabemos que o plano passa pelo ponto , podemos usar a equação geral do plano:
Substituindo os valores:

Resposta

O plano que contém a reta e é perpendicular ao plano tem a equação:

Exercícios relacionados

Identi car a cônica, achar a equação no último sistema de coordenadas utilizado e fazer um esboço do grá co.
.
Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais: e .
Considere os planos .
Dê um exemplo de um plano perpendicular a e a .
Calcule a projeção ortogonal de sobre em cada caso.