Considere os planos : x y+3 z=1, beta: 2 x 3 y z=2.
Dê um exemplo de um plano perpendicular a e a beta.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo! A gente tem dois planos dados pelas equações e . A questão quer que a gente dê um exemplo de um plano que seja perpendicular ao plano .
Pra resolver isso, vamos precisar saber sobre normais de planos e perpendicularidade entre planos. Basicamente, a normal de um plano é um vetor que é perpendicular a esse plano, e dois planos são perpendiculares se suas normais também forem perpendiculares.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores normais dos planos dados. A equação geral de um plano é , onde é o vetor normal.
  • Para o plano , o vetor normal é .

Passo 3

Agora, para encontrar um plano que seja perpendicular a n cdot nbeta = 0 2a + 3b + c = 0 , precisamos que a normal desse novo plano seja perpendicular à normal de . Isso significa que o produto escalar entre os vetores normais deve ser zero.
Vamos chamar a normal do novo plano de . Então, temos:

Passo 4

Temos muitas possibilidades para 2(1) + 3(0) + c = 0 2 + 0 + c = 0 c = -2 e que satisfazem a equação . Vamos escolher valores simples para facilitar.
Vamos supor que e . Substituindo na equação:
Então, a normal do nosso novo plano pode ser .

Passo 5

Com a normal a x + b y + c z = d , podemos escrever a equação geral do plano. A equação de um plano é:
1x + 0y - 2z = 0 x - 2z = 0
Onde é uma constante. Para simplificar, vamos escolher . Então, a equação fica:

Resposta

Um exemplo de plano perpendicular a é .

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