Considere o plano de equação 2 x+y z=4 e a reta r de equação (x, y, z)= (0,3, 4)+t(1, 1,2).
Determine a reta contida em e que é perpendicular a r.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um plano com a equação e uma reta dada por . Precisamos encontrar uma reta que esteja contida nesse plano e que seja perpendicular à reta . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores diretores e condições de perpendicularidade.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o vetor diretor da reta (x, y, z) = (0, 3, 4) + t(1, 1, 2) . A equação da reta está na forma paramétrica:
O vetor diretor é o que está multiplicando o parâmetro , ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos pensar na reta que queremos encontrar. Ela deve estar no plano , então qualquer ponto dessa reta deve satisfazer essa equação. Além disso, o vetor diretor dessa nova reta deve ser perpendicular ao vetor diretor da reta .

Passo 4

Para que duas retas sejam perpendiculares, seus vetores diretores devem ter produto escalar igual a zero. Seja d cdot dr = 0 implies a cdot 1 + b cdot 1 + c cdot 2 = 0 o vetor diretor da reta que queremos encontrar. Então:
a + b + 2c = 0
Ou seja:
Essa é uma condição que o vetor diretor da nossa reta deve satisfazer.

Passo 5

Além disso, como a reta está no plano d cdot n = 0 implies 2a + b - c = 0 , o vetor diretor da reta deve ser paralelo ao plano. Para isso, o vetor diretor deve ser perpendicular ao vetor normal do plano. O vetor normal do plano é dado pelos coeficientes de , e na equação do plano, ou seja, .
Então, queremos que:

Passo 6

Agora, temos um sistema de duas equações com três variáveis:
a + b + 2c = 0 2a + b - c = 0
Vamos resolver esse sistema para encontrar as relações entre (2a + b - c) - (a + b + 2c) = 0 implies a - 3c = 0 implies a = 3c , 3c + b + 2c = 0 implies b = -5c e d = (3c, -5c, c) = c(3, -5, 1) .
Subtraindo a primeira equação da segunda:
d = (3, -5, 1)
Substituindo na primeira equação:
Então, os vetores diretores que satisfazem as condições são da forma:
Podemos escolher para simplificar, então:

Passo 7

Agora, precisamos de um ponto que pertence à reta que queremos encontrar e que também está no plano 2(0) + 3 - 4 = -1 neq 4 . Podemos escolher o ponto inicial da reta 2x + y - z = 4 2(0 + t) + (3 + t) - (4 + 2t) = 4 2t + 3 + t - 4 - 2t = 4 t -1 = 4 implies t = 5 , que é (x, y, z) = (0 + 5, 3 + 5, 4 + 10) = (5, 8, 14) , e verificar se ele está no plano:
Não está no plano. Então, vamos encontrar um ponto no plano que seja perpendicular à reta .
Vamos considerar que a reta que queremos passar pelo ponto de interseção entre a reta e o plano. Para isso, substituímos as coordenadas da reta na equação do plano:
Então, o ponto de interseção é:

Passo 8

Agora, temos um ponto (x, y, z) = (5, 8, 14) + t(3, -5, 1) no plano e um vetor diretor . Podemos escrever a equação da reta que procuramos:

Resposta

A reta que está contida no plano (x, y, z) = (5, 8, 14) + t(3, -5, 1) e que é perpendicular à reta é dada por:

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