Considere o plano de equação e a reta de equação .
Determine a reta contida em e que é perpendicular a .
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um plano com a equação e uma reta dada por . Precisamos encontrar uma reta que esteja contida nesse plano e que seja perpendicular à reta . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores diretores e condições de perpendicularidade.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o vetor diretor da reta . A equação da reta está na forma paramétrica:
O vetor diretor é o que está multiplicando o parâmetro , ou seja, .
Passo 3
Agora, vamos pensar na reta que queremos encontrar. Ela deve estar no plano , então qualquer ponto dessa reta deve satisfazer essa equação. Além disso, o vetor diretor dessa nova reta deve ser perpendicular ao vetor diretor da reta .
Passo 4
Para que duas retas sejam perpendiculares, seus vetores diretores devem ter produto escalar igual a zero. Seja o vetor diretor da reta que queremos encontrar. Então:
Ou seja:
Essa é uma condição que o vetor diretor da nossa reta deve satisfazer.
Passo 5
Além disso, como a reta está no plano , o vetor diretor da reta deve ser paralelo ao plano. Para isso, o vetor diretor deve ser perpendicular ao vetor normal do plano. O vetor normal do plano é dado pelos coeficientes de , e na equação do plano, ou seja, .
Então, queremos que:
Passo 6
Agora, temos um sistema de duas equações com três variáveis:
Vamos resolver esse sistema para encontrar as relações entre , e .
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Substituindo na primeira equação:
Então, os vetores diretores que satisfazem as condições são da forma:
Podemos escolher para simplificar, então:
Passo 7
Agora, precisamos de um ponto que pertence à reta que queremos encontrar e que também está no plano . Podemos escolher o ponto inicial da reta , que é , e verificar se ele está no plano:
Não está no plano. Então, vamos encontrar um ponto no plano que seja perpendicular à reta .
Vamos considerar que a reta que queremos passar pelo ponto de interseção entre a reta e o plano. Para isso, substituímos as coordenadas da reta na equação do plano:
Então, o ponto de interseção é:
Passo 8
Agora, temos um ponto no plano e um vetor diretor . Podemos escrever a equação da reta que procuramos:
Resposta
A reta que está contida no plano e que é perpendicular à reta é dada por: