Veri que se cada uma das seguintes matrizes A é diagonalizável ou não. Quando for, determine uma matriz invertível e determine uma matiz diagonal tais que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer é verificar se a matriz que você me deu é diagonalizável. Diagonalizar uma matriz significa encontrar duas matrizes: uma matriz invertível e uma matriz diagonal onde . Para isso, vamos precisar trabalhar com autovalores e autovetores da matriz . Então, vamos identificar os autovalores de , encontrar os autovetores correspondentes e ver se conseguimos formar uma matriz com vetores linearmente independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores de . Os autovalores são os valores de que satisfazem a equação característica:
Onde é a matriz identidade. Calculando isso para nossa matriz :
Agora, calculamos o determinante dessa matriz.

Passo 3

Vamos calcular o determinante de :
Simplificando:
Continuando:
Agora, igualamos a zero para encontrar os autovalores:
Portanto, temos e as soluções da equação quadrática .

Passo 4

Vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, os autovalores são:

Passo 5

Agora que temos os três autovalores distintos, sabemos que cada um deles terá, no mínimo, um autovetor associado. Em matrizes com autovalores distintos, os autovetores correspondentes são linearmente independentes. Portanto, já podemos concluir que a matriz é diagonalizável porque temos três autovalores distintos para uma matriz 3x3, o que garante que existe um conjunto completo de autovetores linearmente independentes.

Passo 6

Vamos construir a matriz com os autovetores correspondentes aos autovalores e a matriz com os autovalores na diagonal. Assim, teremos:
Onde:
E é formada pelos autovetores correspondentes a .

Resposta

A matriz é diagonalizável. As matrizes e que satisfazem são:
Onde cada linha de é um autovetor correspondente aos autovalores encontrados.

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Veri que se cada uma das seguintes matrizes A é diagonalizável ou não. Quando for, determine uma matriz invertível e determine uma matiz diagonal tais que .
Veri que se cada uma das seguintes matrizes A é diagonalizável ou não. Quando for, determine uma matriz invertível e determine uma matiz diagonal tais que .
Sejam os vetores e . Mostre que o conjunto é uma base do . Além disso, determine .
Considere o plano de equação e a reta de equação .
Determine a reta contida em e que é perpendicular a .