Determinar a dimensão e uma base do espaço vetorial
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar a dimensão e uma base do espaço vetorial
Esse problema está relacionado ao estudo de espaços vetoriais e sistemas de equações lineares. Para resolver, vamos analisar as condições dadas e encontrar vetores que formem uma base para esse espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as condições que definem o espaço
. Temos duas equações:
A segunda equação já nos diz que
deve ser zero em todos os vetores de
. Isso simplifica o nosso trabalho, pois não precisamos nos preocupar com a componente
.
Passo 3
Agora, focamos na primeira equação
. Essa equação relaciona as componentes
,
e
. Vamos resolver essa equação para uma das variáveis em termos das outras. Por exemplo, podemos resolver para
:
Isso significa que, qualquer vetor em
pode ser escrito como:
Passo 4
Para encontrar uma base, vamos expressar esse vetor em termos das variáveis livres. Aqui,
e
são as variáveis livres, já que podemos escolher qualquer valor para elas. Vamos escrever o vetor como uma combinação linear de
e
:
Isso mostra que qualquer vetor em
pode ser construído a partir de uma combinação dos vetores
e
.
Passo 5
Para determinar a dimensão de
, contamos quantos vetores independentes temos na nossa base. Aqui, temos dois vetores:
Como esses vetores são linearmente independentes, a dimensão de
é 2.
Resposta
A dimensão do espaço vetorial
é 2 e uma base para
é formada pelos vetores
Exercícios relacionados
Considere o plano de equação
e a reta
de equação
.
Determine a reta contida em e que é perpendicular a .
Determine a reta contida em e que é perpendicular a
Sejam os vetores
e
. Mostre que o conjunto
é uma base do
. Além disso, determine
.
São dadas as coordenadas de
e
em relação a uma base ortonormal fixada. Calcule, em radianos, a medida angular entre
e
.
.
Verifique se os seguintes subconjuntos são subespaços:
e