Determinar a dimensão e uma base do espaço vetorial
S=(x, y, z, t) in R^4: x+y+z=0 e t=0

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar a dimensão e uma base do espaço vetorial
S=(x, y, z, t) in R^4: x+y+z=0 e t=0
Esse problema está relacionado ao estudo de espaços vetoriais e sistemas de equações lineares. Para resolver, vamos analisar as condições dadas e encontrar vetores que formem uma base para esse espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as condições que definem o espaço . Temos duas equações:
A segunda equação já nos diz que deve ser zero em todos os vetores de . Isso simplifica o nosso trabalho, pois não precisamos nos preocupar com a componente .

Passo 3

Agora, focamos na primeira equação x = -y - z . Essa equação relaciona as componentes (x, y, z, t) = (-y - z, y, z, 0) , e . Vamos resolver essa equação para uma das variáveis em termos das outras. Por exemplo, podemos resolver para :
Isso significa que, qualquer vetor em pode ser escrito como:

Passo 4

Para encontrar uma base, vamos expressar esse vetor em termos das variáveis livres. Aqui, (-y - z, y, z, 0) = y cdot (-1, 1, 0, 0) + z cdot (-1, 0, 1, 0) e são as variáveis livres, já que podemos escolher qualquer valor para elas. Vamos escrever o vetor como uma combinação linear de e :
Isso mostra que qualquer vetor em pode ser construído a partir de uma combinação dos vetores e .

Passo 5

Para determinar a dimensão de , contamos quantos vetores independentes temos na nossa base. Aqui, temos dois vetores:
Como esses vetores são linearmente independentes, a dimensão de é 2.

Resposta

A dimensão do espaço vetorial , (-1, 1, 0, 0), (-1, 0, 1, 0) , é 2 e uma base para é formada pelos vetores

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