Determinar a dimensão e uma base do espaço vetorial

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar a dimensão e uma base do espaço vetorial
Esse problema está relacionado ao estudo de espaços vetoriais e sistemas de equações lineares. Para resolver, vamos analisar as condições dadas e encontrar vetores que formem uma base para esse espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as condições que definem o espaço . Temos duas equações:
A segunda equação já nos diz que deve ser zero em todos os vetores de . Isso simplifica o nosso trabalho, pois não precisamos nos preocupar com a componente .

Passo 3

Agora, focamos na primeira equação . Essa equação relaciona as componentes , e . Vamos resolver essa equação para uma das variáveis em termos das outras. Por exemplo, podemos resolver para :
Isso significa que, qualquer vetor em pode ser escrito como:

Passo 4

Para encontrar uma base, vamos expressar esse vetor em termos das variáveis livres. Aqui, e são as variáveis livres, já que podemos escolher qualquer valor para elas. Vamos escrever o vetor como uma combinação linear de e :
Isso mostra que qualquer vetor em pode ser construído a partir de uma combinação dos vetores e .

Passo 5

Para determinar a dimensão de , contamos quantos vetores independentes temos na nossa base. Aqui, temos dois vetores:
Como esses vetores são linearmente independentes, a dimensão de é 2.

Resposta

A dimensão do espaço vetorial é 2 e uma base para é formada pelos vetores

Exercícios relacionados

Considere o plano de equação e a reta de equação .
Determine a reta contida em e que é perpendicular a .
Sejam os vetores e . Mostre que o conjunto é uma base do . Além disso, determine .
São dadas as coordenadas de e em relação a uma base ortonormal fixada. Calcule, em radianos, a medida angular entre e . .
Verifique se os seguintes subconjuntos são subespaços:
e