São dadas as coordenadas de
e
em relação a uma base ortonormal fixada. Calcule, em radianos, a medida angular entre
e
.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores,
e
, e precisamos achar o ângulo entre eles, medido em radianos. Para isso, vamos usar o conceito de produto escalar e a fórmula que relaciona o produto escalar com o ângulo entre os vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o produto escalar entre
e
. O produto escalar de dois vetores
e
é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores:
Passo 3
Agora, vamos calcular as normas (ou comprimentos) dos vetores
e
. A norma de um vetor
é dada por:
Calculando para
:
E para
:
Passo 4
Agora que temos o produto escalar e as normas dos vetores, podemos usar a fórmula que relaciona o produto escalar com o ângulo
entre os vetores:
Rearranjando para encontrar o cosseno do ângulo:
Substituindo os valores que calculamos:
Passo 5
Sabemos que
. Agora, precisamos encontrar o ângulo cujo cosseno é zero. Lembrando que:
Portanto, o ângulo entre os vetores é:
Resposta
O ângulo entre os vetores
e
é
radianos.
Exercícios relacionados
Determinar a dimensão e uma base do espaço vetorial
Considere o plano de equação
e a reta
de equação
.
Determine a reta contida em e que é perpendicular a .
Determine a reta contida em e que é perpendicular a
Verifique se os seguintes subconjuntos são subespaços:
e
Considere os planos
.
Determine a equação da reta .
Determine a equação da reta