São dadas as coordenadas de e em relação a uma base ortonormal fixada. Calcule, em radianos, a medida angular entre e . .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores, e , e precisamos achar o ângulo entre eles, medido em radianos. Para isso, vamos usar o conceito de produto escalar e a fórmula que relaciona o produto escalar com o ângulo entre os vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto escalar entre e . O produto escalar de dois vetores e é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores:

Passo 3

Agora, vamos calcular as normas (ou comprimentos) dos vetores e . A norma de um vetor é dada por:
Calculando para :
E para :

Passo 4

Agora que temos o produto escalar e as normas dos vetores, podemos usar a fórmula que relaciona o produto escalar com o ângulo entre os vetores:
Rearranjando para encontrar o cosseno do ângulo:
Substituindo os valores que calculamos:

Passo 5

Sabemos que . Agora, precisamos encontrar o ângulo cujo cosseno é zero. Lembrando que:
Portanto, o ângulo entre os vetores é:

Resposta

O ângulo entre os vetores e é radianos.

Exercícios relacionados

Determinar a dimensão e uma base do espaço vetorial
Considere o plano de equação e a reta de equação .
Determine a reta contida em e que é perpendicular a .
Verifique se os seguintes subconjuntos são subespaços:
e
Considere os planos .
Determine a equação da reta .