São dadas as coordenadas de u e v em relação a uma base ortonormal fixada. Calcule, em radianos, a medida angular entre u e v. u=(1,0,1), v=(-2,10,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores, u = (1, 0, 1) e v = (-2, 10, 2), e precisamos achar o ângulo entre eles, medido em radianos. Para isso, vamos usar o conceito de produto escalar e a fórmula que relaciona o produto escalar com o ângulo entre os vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto escalar entre u e v. O produto escalar de dois vetores u = (u1, u2, u3) e v = (v1, v2, v3) é dado por:
u cdot v = u1v1 + u2v2 + u3v3
Aplicando isso aos nossos vetores:
u cdot v = (1)(-2) + (0)(10) + (1)(2) = -2 + 0 + 2 = 0

Passo 3

Agora, vamos calcular as normas (ou comprimentos) dos vetores u e v. A norma de um vetor u = (u1, u2, u3) é dada por:
|u| = raizu1^2 + u2^2 + u3^2
Calculando para u:
|u| = raiz1^2 + 0^2 + 1^2 = raiz1 + 0 + 1 = raiz2
E para v:
|v| = raiz(-2)^2 + 10^2 + 2^2 = raiz4 + 100 + 4 = raiz108 = 6raiz3

Passo 4

Agora que temos o produto escalar e as normas dos vetores, podemos usar a fórmula que relaciona o produto escalar com o ângulo theta entre os vetores:
u cdot v = |u| cdot |v| cdot cos(theta)
Rearranjando para encontrar o cosseno do ângulo:
cos(theta) = u cdot v|u| cdot |v|
Substituindo os valores que calculamos:
cos(theta) = 0raiz2 cdot 6raiz3 = 06raiz6 = 0

Passo 5

Sabemos que cos(theta) = 0. Agora, precisamos encontrar o ângulo cujo cosseno é zero. Lembrando que:
cos(pi2) = 0
Portanto, o ângulo entre os vetores é:
theta = pi2 radianos

Resposta

O ângulo entre os vetores u e v é pi2 radianos.

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