Sejam os vetores e . Mostre que o conjunto é uma base do . Além disso, determine .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que mostrar que o conjunto , com , e , é uma base do espaço . Além disso, precisamos encontrar as coordenadas dos vetores padrão , e nessa base .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de bases e combinações lineares. Primeiro, vamos verificar se os vetores de são linearmente independentes e geram todo o espaço . Se sim, então é uma base. Depois, vamos encontrar as coordenadas dos vetores padrão em relação a essa base.

Passo 2

Primeiro, precisamos confirmar que os vetores são linearmente independentes. Isso significa que nenhuma combinação não trivial desses vetores resulta no vetor zero.
Uma maneira fácil de verificar isso é montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular o determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
Vamos montar a matriz :
Agora, calculamos o determinante de :
Como , os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base de .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as coordenadas dos vetores padrão , e na base .
Isso significa que precisamos encontrar vetores de coordenadas , e tais que:
Essas coordenadas podem ser encontradas resolvendo o sistema linear , onde é o vetor de coordenadas.

Passo 4

Vamos resolver para encontrar .

[


]
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema. Primeiramente, da segunda equação:
Substituindo na terceira equação:
Agora, substituindo e na primeira equação:
Então:
Portanto:

Passo 5

Vamos repetir o mesmo processo para .
Resolvemos :
Da segunda equação:
Da terceira equação:
Substituindo e na primeira equação:
Então:
Portanto:

Passo 6

Por fim, vamos encontrar resolvendo .
Da segunda equação:
Da terceira equação:
Substituindo e na primeira equação:
Então:
Portanto:

Resposta

O conjunto é uma base de . As coordenadas dos vetores padrão nessa base são:

Exercícios relacionados

Veri que se cada uma das seguintes matrizes A é diagonalizável ou não. Quando for, determine uma matriz invertível e determine uma matiz diagonal tais que .
Veri que se cada uma das seguintes matrizes A é diagonalizável ou não. Quando for, determine uma matriz invertível e determine uma matiz diagonal tais que .
Considere o plano de equação e a reta de equação .
Determine a reta contida em e que é perpendicular a .
Determinar a dimensão e uma base do espaço vetorial