Sejam os vetores v1=(1,1,1), v2=(-1,1,0) e v3=(1,0,-1). Mostre que o conjunto B=v1, v2, v3 é uma base do R^3. Além disso, determine [(1,0,0)]B,[(0,1,0)]B e [(0,0,1)]B.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que mostrar que o conjunto , com , e , é uma base do espaço . Além disso, precisamos encontrar as coordenadas dos vetores padrão , e nessa base .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de bases e combinações lineares. Primeiro, vamos verificar se os vetores de são linearmente independentes e geram todo o espaço . Se sim, então é uma base. Depois, vamos encontrar as coordenadas dos vetores padrão em relação a essa base.

Passo 2

Primeiro, precisamos confirmar que os vetores A = 1 & -1 & 1 1 & 1 & 0 1 & 0 & -1 são linearmente independentes. Isso significa que nenhuma combinação não trivial desses vetores resulta no vetor zero.
Uma maneira fácil de verificar isso é montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular o determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
Vamos montar a matriz det(A) = 1 cdot (1 cdot (-1) - 0 cdot 0) - (-1) cdot (1 cdot (-1) - 1 cdot 0) + 1 cdot (1 cdot 0 - 1 cdot 1) :
det(A) = 1 cdot (-1) - (-1) cdot (-1) + 1 cdot (-1) = -1 - 1 -1 = -3
Agora, calculamos o determinante de :
Como , os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base de .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as coordenadas dos vetores padrão ei = c1v1 + c2v2 + c3v3 para i = 1,2,3 , e na base .
Isso significa que precisamos encontrar vetores de coordenadas , e tais que:
Essas coordenadas podem ser encontradas resolvendo o sistema linear , onde é o vetor de coordenadas.

Passo 4

Vamos resolver 1 & -1 & 1 1 & 1 & 0 1 & 0 & -1 c1 c2 c3 = 1 0 0 para encontrar 1c1 -1c2 +1c3 = 1 1c1 +1c2 +0c3 = 0 1c1 +0c2 -1c3 = 0 .

[
c1 + c2 = 0 Rightarrow c2 = -c1
c1 - c3 = 0 Rightarrow c3 = c1

c1 - (-c1) + c1 = 1 Rightarrow 3c1 = 1 Rightarrow c1 = 13
]
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
c2 = -13, c3 = 13
Vamos resolver esse sistema. Primeiramente, da segunda equação:
[e1]B = ( 13, -13, 13 )
Substituindo na terceira equação:
Agora, substituindo e na primeira equação:
Então:
Portanto:

Passo 5

Vamos repetir o mesmo processo para 1c1 -1c2 +1c3 = 0 1c1 +1c2 +0c3 = 1 1c1 +0c2 -1c3 = 0 .
Resolvemos c1 + c2 = 1 Rightarrow c2 = 1 - c1 :
c1 - c3 = 0 Rightarrow c3 = c1
Da segunda equação:
c1 - (1 - c1) + c1 = 0 Rightarrow 3c1 -1 = 0 Rightarrow c1 = 13
Da terceira equação:
c2 = 1 - 13 = 23, c3 = 13
Substituindo [e2]B = ( 13, 23, 13 ) e na primeira equação:
Então:
Portanto:

Passo 6

Por fim, vamos encontrar 1c1 -1c2 +1c3 = 0 1c1 +1c2 +0c3 = 0 1c1 +0c2 -1c3 = 1 resolvendo c1 + c2 = 0 Rightarrow c2 = -c1 .
c1 - c3 = 1 Rightarrow c3 = c1 -1
Da segunda equação:
c1 - (-c1) + (c1 -1) = 0 Rightarrow 3c1 -1 = 0 Rightarrow c1 = 13
Da terceira equação:
c2 = -13, c3 = 13 -1 = -23
Substituindo [e3]B = ( 13, -13, -23 ) e na primeira equação:
Então:
Portanto:

Resposta

O conjunto [(1,0,0)]B = ( 13, -13, 13 ) é uma base de [(0,1,0)]B = ( 13, 23, 13 ) . As coordenadas dos vetores padrão nessa base são:
[(0,0,1)]B = ( 13, -13, -23 )

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