Sejam os vetores e . Mostre que o conjunto é uma base do . Além disso, determine .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que mostrar que o conjunto , com , e , é uma base do espaço . Além disso, precisamos encontrar as coordenadas dos vetores padrão , e nessa base .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de bases e combinações lineares. Primeiro, vamos verificar se os vetores de são linearmente independentes e geram todo o espaço . Se sim, então é uma base. Depois, vamos encontrar as coordenadas dos vetores padrão em relação a essa base.
Passo 2
Primeiro, precisamos confirmar que os vetores são linearmente independentes. Isso significa que nenhuma combinação não trivial desses vetores resulta no vetor zero.
Uma maneira fácil de verificar isso é montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular o determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
Vamos montar a matriz :
Agora, calculamos o determinante de :
Como , os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base de .
Passo 3
Agora, vamos encontrar as coordenadas dos vetores padrão , e na base .
Isso significa que precisamos encontrar vetores de coordenadas, e tais que:
Essas coordenadas podem ser encontradas resolvendo o sistema linear , onde é o vetor de coordenadas.
Passo 4
Vamos resolver para encontrar .
[
]
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema. Primeiramente, da segunda equação:
Substituindo na terceira equação:
Agora, substituindo e na primeira equação:
Então:
Portanto:
Passo 5
Vamos repetir o mesmo processo para .
Resolvemos :
Da segunda equação:
Da terceira equação:
Substituindo e na primeira equação:
Então:
Portanto:
Passo 6
Por fim, vamos encontrar resolvendo .
Da segunda equação:
Da terceira equação:
Substituindo e na primeira equação:
Então:
Portanto:
Resposta
O conjunto é uma base de . As coordenadas dos vetores padrão nessa base são: