Sejam
e
o conjunto dos vetores ortogonais a
. Prove que qualquer combinação linear de vetores de
pertence a
;
Passo 1
Então, temos que
é um vetor que não é o vetor nulo, e
é o conjunto de todos os vetores que são ortogonais a
. O que precisamos mostrar é que se pegarmos qualquer combinação linear de vetores que estão em
, o resultado dessa combinação também estará em
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como ortogonalidade e combinação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que dois vetores são ortogonais. Dois vetores são ortogonais se o produto interno deles é zero. Ou seja, para qualquer vetor
em
, temos que:
Isso é a definição de
: todos os vetores que, quando fazemos o produto interno com
, dão zero.
Passo 3
Agora, vamos considerar uma combinação linear de vetores em
. Vamos dizer que temos dois vetores
e
em
, e queremos formar uma combinação linear deles:
Onde
e
são escalares (números reais).
Passo 4
Para provar que
também está em
, precisamos mostrar que
. Vamos calcular o produto interno:
Usando a propriedade distributiva do produto interno, temos:
Passo 5
Como
e
estão em
, sabemos que:
Substituindo esses valores na equação anterior:
Resposta
Como
, concluímos que a combinação linear
também está em
. Portanto, qualquer combinação linear de vetores de
pertence a
.