Sejam e o conjunto dos vetores ortogonais a . Prove que qualquer combinação linear de vetores de pertence a ;

Passo 1

Então, temos que é um vetor que não é o vetor nulo, e é o conjunto de todos os vetores que são ortogonais a . O que precisamos mostrar é que se pegarmos qualquer combinação linear de vetores que estão em , o resultado dessa combinação também estará em . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como ortogonalidade e combinação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que dois vetores são ortogonais. Dois vetores são ortogonais se o produto interno deles é zero. Ou seja, para qualquer vetor em , temos que:
Isso é a definição de : todos os vetores que, quando fazemos o produto interno com , dão zero.

Passo 3

Agora, vamos considerar uma combinação linear de vetores em . Vamos dizer que temos dois vetores e em , e queremos formar uma combinação linear deles:
Onde e são escalares (números reais).

Passo 4

Para provar que também está em , precisamos mostrar que . Vamos calcular o produto interno:
Usando a propriedade distributiva do produto interno, temos:

Passo 5

Como e estão em , sabemos que:
Substituindo esses valores na equação anterior:

Resposta

Como , concluímos que a combinação linear também está em . Portanto, qualquer combinação linear de vetores de pertence a .

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Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais: Sejam e S o conjunto-solução do sistema linear homogêneo:
Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais: .
Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais: .
Considere o plano de equação e a reta de equação .
Determine a reta que é a projeção ortogonal de sobre