Sejam e o conjunto dos vetores ortogonais a . Prove que qualquer combinação linear de vetores de pertence a ;
Passo 1
Então, temos que é um vetor que não é o vetor nulo, e é o conjunto de todos os vetores que são ortogonais a . O que precisamos mostrar é que se pegarmos qualquer combinação linear de vetores que estão em , o resultado dessa combinação também estará em . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como ortogonalidade e combinação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que dois vetores são ortogonais. Dois vetores são ortogonais se o produto interno deles é zero. Ou seja, para qualquer vetor em , temos que:
Isso é a definição de : todos os vetores que, quando fazemos o produto interno com , dão zero.
Passo 3
Agora, vamos considerar uma combinação linear de vetores em . Vamos dizer que temos dois vetores e em , e queremos formar uma combinação linear deles:
Onde e são escalares (números reais).
Passo 4
Para provar que também está em , precisamos mostrar que . Vamos calcular o produto interno:
Usando a propriedade distributiva do produto interno, temos:
Passo 5
Como e estão em , sabemos que:
Substituindo esses valores na equação anterior:
Resposta
Como , concluímos que a combinação linear também está em . Portanto, qualquer combinação linear de vetores de pertence a .