Sejam u neq 0 e T o conjunto dos vetores ortogonais a u. Prove que qualquer combinação linear de vetores de T pertence a T;

Passo 1

Então, temos que u é um vetor que não é o vetor nulo, e T é o conjunto de todos os vetores que são ortogonais a u. O que precisamos mostrar é que se pegarmos qualquer combinação linear de vetores que estão em T, o resultado dessa combinação também estará em T. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como ortogonalidade e combinação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que dois vetores são ortogonais. Dois vetores são ortogonais se o produto interno deles é zero. Ou seja, para qualquer vetor v em T, temos que:
u cdot v = 0
Isso é a definição de T: todos os vetores que, quando fazemos o produto interno com u, dão zero.

Passo 3

Agora, vamos considerar uma combinação linear de vetores em T. Vamos dizer que temos dois vetores v1 e v2 em T, e queremos formar uma combinação linear deles:
w = av1 + bv2
Onde a e b são escalares (números reais).

Passo 4

Para provar que w também está em T, precisamos mostrar que u cdot w = 0. Vamos calcular o produto interno:
u cdot w = u cdot (av1 + bv2)
Usando a propriedade distributiva do produto interno, temos:
u cdot w = a(u cdot v1) + b(u cdot v2)

Passo 5

Como v1 e v2 estão em T, sabemos que:
u cdot v1 = 0 e u cdot v2 = 0
Substituindo esses valores na equação anterior:
u cdot w = a(0) + b(0) = 0 + 0 = 0

Resposta

Como u cdot w = 0, concluímos que a combinação linear w também está em T. Portanto, qualquer combinação linear de vetores de T pertence a T.

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