Considere o plano Omega subset R^3 gerado pelos vetores u=(1,-3,2) e v=(2,4,5).
(a) Mostrar que o vetor z=(8,26,21) é paralelo a Omega.
(b) Mostrar que o vetor w=(46,2,-20) é ortogonal a Omega.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um plano chamado Omega no espaço tridimensional, que é formado pelos vetores u = (1, -3, 2) e v = (2, 4, 5). Temos duas tarefas:
(a) Mostrar que o vetor z = (8, 26, 21) é paralelo ao plano Omega.
(b) Mostrar que o vetor w = (46, 2, -20) é ortogonal ao plano Omega.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinação linear e produto escalar da álgebra vetorial.

Passo 2

Parte (a): Mostrando que z é paralelo a Omega
Para provar que z está no plano Omega, precisamos verificar se ela pode ser escrita como uma combinação linear dos vetores que geram o plano, ou seja, se existem números escalares a e b tais que:
z = au + bv
Isso significa que podemos encontrar a e b que satisfazem essa equação para todas as componentes do vetor.

Passo 3

Vamos escrever isso componente a componente. Temos:
(8, 26, 21) = a(1, -3, 2) + b(2, 4, 5)
Isso se traduz em três equações:
  1. Para a primeira componente:
    8 = 1 cdot a + 2 cdot b Rightarrow 8 = a + 2b
  2. Para a segunda componente:
    26 = -3 cdot a + 4 cdot b Rightarrow 26 = -3a + 4b
  3. Para a terceira componente:
    21 = 2 cdot a + 5 cdot b Rightarrow 21 = 2a + 5b

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar a e b.
Primeiro, da primeira equação:
8 = a + 2b Rightarrow a = 8 - 2b
Agora, substituímos a na segunda equação:
26 = -3(8 - 2b) + 4b 26 = -24 + 6b + 4b 26 = -24 + 10b 26 + 24 = 10b 50 = 10b b = 5
Com b = 5, encontramos a:
a = 8 - 2 cdot 5 = 8 - 10 = -2
Vamos verificar na terceira equação:
21 = 2(-2) + 5(5) 21 = -4 + 25 21 = 21
Tudo confere!

Passo 5

Como encontramos valores de a e b que satisfazem todas as equações, isso significa que o vetor z = (8, 26, 21) pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores u e v. Portanto, z está no plano Omega e, consequentemente, é paralelo a ele.

Passo 6

Parte (b): Mostrando que w é ortogonal a Omega
Para mostrar que w = (46, 2, -20) é ortogonal ao plano Omega, podemos verificar se ela é ortogonal a ambos os vetores que geram o plano, ou seja, se o produto escalar de w com u e com v é zero.
Se w cdot u = 0 e w cdot v = 0, então w é perpendicular a qualquer combinação linear de u e v, ou seja, ao plano Omega.

Passo 7

Vamos calcular os produtos escalares:
  1. Produto escalar de w com u:
    w cdot u = 46 cdot 1 + 2 cdot (-3) + (-20) cdot 2 = 46 - 6 - 40 = 0
  2. Produto escalar de w com v:
    w cdot v = 46 cdot 2 + 2 cdot 4 + (-20) cdot 5 = 92 + 8 - 100 = 0
Como ambos os produtos escalares são iguais a zero, concluímos que w é perpendicular a ambos os vetores geradores do plano Omega, ou seja, w é ortogonal a Omega.

Resposta

(a) O vetor z = (8, 26, 21) é paralelo ao plano Omega.
(b) O vetor w = (46, 2, -20) é ortogonal ao plano Omega.

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