Considere o plano gerado pelos vetores e .
(a) Mostrar que o vetor é paralelo a .
(b) Mostrar que o vetor é ortogonal a .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um plano chamado no espaço tridimensional, que é formado pelos vetores e . Temos duas tarefas:
(a) Mostrar que o vetor é paralelo ao plano .
(b) Mostrar que o vetor é ortogonal ao plano .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinação linear e produto escalar da álgebra vetorial.
Passo 2
Parte (a): Mostrando que é paralelo a
Para provar que está no plano , precisamos verificar se ela pode ser escrita como uma combinação linear dos vetores que geram o plano, ou seja, se existem números escalares e tais que:
Isso significa que podemos encontrar e que satisfazem essa equação para todas as componentes do vetor.
Passo 3
Vamos escrever isso componente a componente. Temos:
Isso se traduz em três equações:
Para a primeira componente:
Para a segunda componente:
Para a terceira componente:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar e .
Primeiro, da primeira equação:
Agora, substituímos na segunda equação:
Com , encontramos :
Vamos verificar na terceira equação:
Tudo confere!
Passo 5
Como encontramos valores de e que satisfazem todas as equações, isso significa que o vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores e . Portanto, está no plano e, consequentemente, é paralelo a ele.
Passo 6
Parte (b): Mostrando que é ortogonal a
Para mostrar que é ortogonal ao plano , podemos verificar se ela é ortogonal a ambos os vetores que geram o plano, ou seja, se o produto escalar de com e com é zero.
Se e , então é perpendicular a qualquer combinação linear de e , ou seja, ao plano .
Passo 7
Vamos calcular os produtos escalares:
Produto escalar de com :
Produto escalar de com :
Como ambos os produtos escalares são iguais a zero, concluímos que é perpendicular a ambos os vetores geradores do plano , ou seja, é ortogonal a .