Considere o plano
gerado pelos vetores
e
.
(a) Mostrar que o vetor
é paralelo a
.
(b) Mostrar que o vetor
é ortogonal a
.
(a) Mostrar que o vetor
(b) Mostrar que o vetor
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um plano chamado
no espaço tridimensional, que é formado pelos vetores
e
. Temos duas tarefas:
(a) Mostrar que o vetor
é paralelo ao plano
.
(b) Mostrar que o vetor
é ortogonal ao plano
.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinação linear e produto escalar da álgebra vetorial.
Passo 2
Parte (a): Mostrando que
é paralelo a
Para provar que
está no plano
, precisamos verificar se ela pode ser escrita como uma combinação linear dos vetores que geram o plano, ou seja, se existem números escalares
e
tais que:
Isso significa que podemos encontrar
e
que satisfazem essa equação para todas as componentes do vetor.
Passo 3
Vamos escrever isso componente a componente. Temos:
Isso se traduz em três equações:
-
Para a primeira componente:
-
Para a segunda componente:
-
Para a terceira componente:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar
e
.
Primeiro, da primeira equação:
Agora, substituímos
na segunda equação:
Com
, encontramos
:
Vamos verificar na terceira equação:
Tudo confere!
Passo 5
Como encontramos valores de
e
que satisfazem todas as equações, isso significa que o vetor
pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores
e
. Portanto,
está no plano
e, consequentemente, é paralelo a ele.
Passo 6
Parte (b): Mostrando que
é ortogonal a
Para mostrar que
é ortogonal ao plano
, podemos verificar se ela é ortogonal a ambos os vetores que geram o plano, ou seja, se o produto escalar de
com
e com
é zero.
Se
e
, então
é perpendicular a qualquer combinação linear de
e
, ou seja, ao plano
.
Passo 7
Vamos calcular os produtos escalares:
-
Produto escalar de
com : -
Produto escalar de
com :
Como ambos os produtos escalares são iguais a zero, concluímos que
é perpendicular a ambos os vetores geradores do plano
, ou seja,
é ortogonal a
.
Resposta
(a) O vetor
é paralelo ao plano
.
(b) O vetor
é ortogonal ao plano
.