Considere o plano gerado pelos vetores e .
(a) Mostrar que o vetor é paralelo a .
(b) Mostrar que o vetor é ortogonal a .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um plano chamado no espaço tridimensional, que é formado pelos vetores e . Temos duas tarefas:
(a) Mostrar que o vetor é paralelo ao plano .
(b) Mostrar que o vetor é ortogonal ao plano .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinação linear e produto escalar da álgebra vetorial.

Passo 2

Parte (a): Mostrando que é paralelo a
Para provar que está no plano , precisamos verificar se ela pode ser escrita como uma combinação linear dos vetores que geram o plano, ou seja, se existem números escalares e tais que:
Isso significa que podemos encontrar e que satisfazem essa equação para todas as componentes do vetor.

Passo 3

Vamos escrever isso componente a componente. Temos:
Isso se traduz em três equações:
  1. Para a primeira componente:
  2. Para a segunda componente:
  3. Para a terceira componente:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar e .
Primeiro, da primeira equação:
Agora, substituímos na segunda equação:
Com , encontramos :
Vamos verificar na terceira equação:
Tudo confere!

Passo 5

Como encontramos valores de e que satisfazem todas as equações, isso significa que o vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores e . Portanto, está no plano e, consequentemente, é paralelo a ele.

Passo 6

Parte (b): Mostrando que é ortogonal a
Para mostrar que é ortogonal ao plano , podemos verificar se ela é ortogonal a ambos os vetores que geram o plano, ou seja, se o produto escalar de com e com é zero.
Se e , então é perpendicular a qualquer combinação linear de e , ou seja, ao plano .

Passo 7

Vamos calcular os produtos escalares:
  1. Produto escalar de com :
  2. Produto escalar de com :
Como ambos os produtos escalares são iguais a zero, concluímos que é perpendicular a ambos os vetores geradores do plano , ou seja, é ortogonal a .

Resposta

(a) O vetor é paralelo ao plano .
(b) O vetor é ortogonal ao plano .

Exercícios relacionados

No espaço vetorial consideremos os seguintes subespaços vetoriais:
Determinar as dimensões de e .
Determinar uma base e a dimensão do espaço solução do seguinte sistema:
Considere os pontos e de . Verificar se os pontos e são colineares. Caso não sejam, determinar a equação geral do plano que contém esses três pontos.
Determine a equação do plano ortogonal a reta , e que contém o ponto .