No espaço vetorial consideremos os seguintes subespaços vetoriais:
Determinar as dimensões de e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as dimensões dos subespaços e dentro de . Para isso, vamos trabalhar com conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais e suas dimensões. Precisamos entender como identificar a quantidade de vetores que formam uma base para cada subespaço, garantindo que sejam vetores linearmente independentes.
Passo 2
Subespaço :
Primeiro, vamos analisar o subespaço . A dimensão de é o número de vetores na base que formam .
Para verificar se os vetores são linearmente independentes, montamos uma matriz com eles e calculamos seu determinante ou verificamos se um é múltiplo do outro.
Calculando o determinante das duas primeiras linhas:
Como o determinante é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes. Portanto, a dimensão de é 2.
Calculando o determinante das duas primeiras linhas:
Como o determinante não é zero, os vetores são linearmente independentes. Logo, a dimensão de é 2.
Passo 4
Subespaço U = (x, y, z) mid x + y = 4, x - z = 0 :
O subespaço y = 4 - x é definido por:
z = x
Vamos resolver o sistema de equações:
(x, 4 - x, x) = x(1, -1, 1) + (0, 4, 0)
x + y = 0, x - z = 0 y = -x, z = x
Podemos expressar (x, -x, x) = x(1, -1, 1) e em termos de :
Então, qualquer vetor em pode ser escrito como:
Aqui, vemos que há um vetor livre () e um termo constante. Porém, como estamos tratando de subespaços vetoriais, o termo constante deve ser zero para que seja realmente um subespaço. Isso indica que nossas condições definem um plano passando pela origem, então ajustamos as equações:
Revisando as equações para garantir que passam pela origem:
Agora, expressamos e em termos de :
Portanto, qualquer vetor em é:
Há apenas um vetor na base, então a dimensão de é 1.