No espaço vetorial R^3 consideremos os seguintes subespaços vetoriais:
& S=[(1,-1,2),(2,1,1)] & T=[(0,1,-1),(1,2,1)] & U=(x, y, z) mid x+y=4 x-z=0 & V=(x, y, z) mid 3 x-y-z=0
Determinar as dimensões de S, T, U e V.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as dimensões dos subespaços e dentro de . Para isso, vamos trabalhar com conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais e suas dimensões. Precisamos entender como identificar a quantidade de vetores que formam uma base para cada subespaço, garantindo que sejam vetores linearmente independentes.

Passo 2

Subespaço 1 & 2 -1 & 1 2 & 1 :
Primeiro, vamos analisar o subespaço 1 cdot 1 - (-1) cdot 2 = 1 + 2 = 3 neq 0 . A dimensão de é o número de vetores na base que formam .
Para verificar se os vetores são linearmente independentes, montamos uma matriz com eles e calculamos seu determinante ou verificamos se um é múltiplo do outro.
Calculando o determinante das duas primeiras linhas:
Como o determinante é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes. Portanto, a dimensão de é 2.

Passo 3

Subespaço 0 & 1 1 & 2 -1 & 1 :
Agora, vamos para 0 cdot 2 - 1 cdot 1 = 0 - 1 = -1 neq 0 .
Montamos a matriz:
Calculando o determinante das duas primeiras linhas:
Como o determinante não é zero, os vetores são linearmente independentes. Logo, a dimensão de é 2.

Passo 4

Subespaço U = (x, y, z) mid x + y = 4, x - z = 0 :
O subespaço y = 4 - x é definido por:
z = x
Vamos resolver o sistema de equações:
  1. (x, 4 - x, x) = x(1, -1, 1) + (0, 4, 0)
  2. x + y = 0, x - z = 0 y = -x, z = x
Podemos expressar (x, -x, x) = x(1, -1, 1) e em termos de :
Então, qualquer vetor em pode ser escrito como:
Aqui, vemos que há um vetor livre ( ) e um termo constante. Porém, como estamos tratando de subespaços vetoriais, o termo constante deve ser zero para que seja realmente um subespaço. Isso indica que nossas condições definem um plano passando pela origem, então ajustamos as equações:
Revisando as equações para garantir que passam pela origem:
Agora, expressamos e em termos de :
Portanto, qualquer vetor em é:
Há apenas um vetor na base, então a dimensão de é 1.

Passo 5

Subespaço 3x = y + z Rightarrow y = 3x - z :
Finalmente, vamos analisar (x, 3x - z, z) = x(1, 3, 0) + z(0, -1, 1) .
Essa equação define um plano em , já que é uma única equação linear com três variáveis. A dimensão de um plano é 2.
Podemos também parametrizar os vetores em :
Escolhendo e como parâmetros livres:
Os vetores e são linearmente independentes, confirmando que a dimensão de é 2.

Resposta

As dimensões são:
dim(S) = 2, dim(T) = 2, dim(U) = 1, dim(V) = 2

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