No espaço vetorial consideremos os seguintes subespaços vetoriais:
Determinar as dimensões de e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as dimensões dos subespaços e dentro de . Para isso, vamos trabalhar com conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais e suas dimensões. Precisamos entender como identificar a quantidade de vetores que formam uma base para cada subespaço, garantindo que sejam vetores linearmente independentes.

Passo 2

Subespaço :
Primeiro, vamos analisar o subespaço . A dimensão de é o número de vetores na base que formam .
Para verificar se os vetores são linearmente independentes, montamos uma matriz com eles e calculamos seu determinante ou verificamos se um é múltiplo do outro.
Calculando o determinante das duas primeiras linhas:
Como o determinante é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes. Portanto, a dimensão de é 2.

Passo 3

Subespaço :
Agora, vamos para .
Montamos a matriz:
Calculando o determinante das duas primeiras linhas:
Como o determinante não é zero, os vetores são linearmente independentes. Logo, a dimensão de é 2.

Passo 4

Subespaço :
O subespaço é definido por:
Vamos resolver o sistema de equações:
Podemos expressar e em termos de :
Então, qualquer vetor em pode ser escrito como:
Aqui, vemos que há um vetor livre ( ) e um termo constante. Porém, como estamos tratando de subespaços vetoriais, o termo constante deve ser zero para que seja realmente um subespaço. Isso indica que nossas condições definem um plano passando pela origem, então ajustamos as equações:
Revisando as equações para garantir que passam pela origem:
Agora, expressamos e em termos de :
Portanto, qualquer vetor em é:
Há apenas um vetor na base, então a dimensão de é 1.

Passo 5

Subespaço :
Finalmente, vamos analisar .
Essa equação define um plano em , já que é uma única equação linear com três variáveis. A dimensão de um plano é 2.
Podemos também parametrizar os vetores em :
Escolhendo e como parâmetros livres:
Os vetores e são linearmente independentes, confirmando que a dimensão de é 2.

Resposta

As dimensões são:

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Determinar uma base e a dimensão do espaço solução do seguinte sistema:
Determine a equação reduzida, sendo a variável independente, da reta de interseção dos planos: e .
Considere o plano gerado pelos vetores e .
(a) Mostrar que o vetor é paralelo a .
(b) Mostrar que o vetor é ortogonal a .
Considere os pontos e de . Verificar se os pontos e são colineares. Caso não sejam, determinar a equação geral do plano que contém esses três pontos.