Considere os pontos e de . Verificar se os pontos e são colineares. Caso não sejam, determinar a equação geral do plano que contém esses três pontos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem três pontos no espaço tridimensional: , e . A primeira tarefa é verificar se esses pontos estão na mesma linha reta, ou seja, se são colineares. Se não forem, precisamos encontrar a equação geral do plano que contém esses três pontos. Para isso, vamos usar conceitos de vetores e geometria analítica no .
Passo 2
Primeiro, para verificar se os pontos , e são colineares, podemos analisar os vetores formados entre eles. Se os vetores e forem múltiplos um do outro, significa que os pontos estão na mesma linha reta.
Vamos calcular os vetores e :
Passo 3
Agora, vamos verificar se existe um número real tal que . Isso significa que cada componente de deve ser igual a vezes a correspondente componente de :
Resolvendo a primeira equação, temos . Vamos verificar nas outras:
Para a segunda equação: → ❌
Como não é consistente em todas as equações, os vetores e não são múltiplos. Isso significa que os pontos , e não são colineares.
Passo 4
Já que os pontos não estão na mesma linha reta, eles definem um plano. Para encontrar a equação geral desse plano, precisamos de um ponto no plano e de um vetor normal a ele.
Primeiro, vamos encontrar dois vetores que estão no plano. Podemos usar os vetores AB = (3, -8, 1) e AC = (1, -2, -3) que calculamos antes:
n = AB times AC
O vetor normal ao plano é o produto vetorial desses dois vetores:
Passo 5
Vamos calcular o produto vetorial n = i & j & k 3 & -8 & 1 1 & -2 & -3 = i cdot [(-8)(-3) - (1)(-2)] - j cdot [(3)(-3) - (1)(1)] + k cdot [(3)(-2) - (-8)(1)] :
n = i cdot (24 + 2) - j cdot (-9 - 1) + k cdot (-6 + 8) = 26i + 10j + 2k
Calculando cada componente:
Então, o vetor normal é .
Passo 6
Agora que temos o vetor normal n cdot (r - A) = 0 e um ponto no plano, por exemplo, o ponto 26(x + 1) + 10(y - 3) + 2(z - 0) = 0 , podemos usar a equação vetorial do plano:
Onde é um ponto qualquer no plano. Expandindo essa equação:
Passo 7
Vamos simplificar essa equação:
26x + 26 + 10y - 30 + 2z = 0
26x + 10y + 2z - 4 = 0
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:
13x + 5y + z - 2 = 0
Resposta
Os pontos 13x + 5y + z - 2 = 0 , e não são colineares. A equação geral do plano que contém esses três pontos é: