Considere os pontos A=(-1,3,0), B=(2,-5,1) e C=(0,1,-3) de R^3. Verificar se os pontos A, B e C são colineares. Caso não sejam, determinar a equação geral do plano que contém esses três pontos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três pontos no espaço tridimensional: , e . A primeira tarefa é verificar se esses pontos estão na mesma linha reta, ou seja, se são colineares. Se não forem, precisamos encontrar a equação geral do plano que contém esses três pontos. Para isso, vamos usar conceitos de vetores e geometria analítica no .

Passo 2

Primeiro, para verificar se os pontos AB = B - A = (2 - (-1), -5 - 3, 1 - 0) = (3, -8, 1) , AC = C - A = (0 - (-1), 1 - 3, -3 - 0) = (1, -2, -3) e são colineares, podemos analisar os vetores formados entre eles. Se os vetores e forem múltiplos um do outro, significa que os pontos estão na mesma linha reta.
Vamos calcular os vetores e :

Passo 3

Agora, vamos verificar se existe um número real 3 = k cdot 1 -8 = k cdot (-2) 1 = k cdot (-3) tal que . Isso significa que cada componente de deve ser igual a vezes a correspondente componente de :
Resolvendo a primeira equação, temos . Vamos verificar nas outras:
Para a segunda equação:
Como não é consistente em todas as equações, os vetores e não são múltiplos. Isso significa que os pontos , e não são colineares.

Passo 4

Já que os pontos não estão na mesma linha reta, eles definem um plano. Para encontrar a equação geral desse plano, precisamos de um ponto no plano e de um vetor normal a ele.
Primeiro, vamos encontrar dois vetores que estão no plano. Podemos usar os vetores AB = (3, -8, 1) e AC = (1, -2, -3) que calculamos antes:
n = AB times AC
O vetor normal ao plano é o produto vetorial desses dois vetores:

Passo 5

Vamos calcular o produto vetorial n = i & j & k 3 & -8 & 1 1 & -2 & -3 = i cdot [(-8)(-3) - (1)(-2)] - j cdot [(3)(-3) - (1)(1)] + k cdot [(3)(-2) - (-8)(1)] :
n = i cdot (24 + 2) - j cdot (-9 - 1) + k cdot (-6 + 8) = 26i + 10j + 2k
Calculando cada componente:
Então, o vetor normal é .

Passo 6

Agora que temos o vetor normal n cdot (r - A) = 0 e um ponto no plano, por exemplo, o ponto 26(x + 1) + 10(y - 3) + 2(z - 0) = 0 , podemos usar a equação vetorial do plano:
Onde é um ponto qualquer no plano. Expandindo essa equação:

Passo 7

Vamos simplificar essa equação:
26x + 26 + 10y - 30 + 2z = 0
26x + 10y + 2z - 4 = 0
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:
13x + 5y + z - 2 = 0

Resposta

Os pontos 13x + 5y + z - 2 = 0 , e não são colineares. A equação geral do plano que contém esses três pontos é:

Exercícios relacionados

Considere o plano Omega subset R^3 gerado pelos vetores u=(1,-3,2) e v=(2,4,5).
(a) Mostrar que o vetor z=(8,26,21) é paralelo a Omega.
(b) Mostrar que o vetor w=(46,2,-20) é ortogonal a Omega.
No espaço vetorial R^3 consideremos os seguintes subespaços vetoriais:
& S=[(1,-1,2),(2,1,1)] & T=[(0,1,-1),(1,2,1)] & U=(x, y, z) mid x+y=4 x-z=0 & V=(x, y, z) mid 3 x-y-z=0
Determinar as dimensões de S, T, U e V.
Determine a equação do plano Pi ortogonal a reta r:lx=t+1 y=0 z=1-t, t in R, e que contém o ponto P0=(0,1,1).
Determine as equações paramétricas do plano Pi :
(a) que passa pelo ponto P0=(1,1, 95) e que seja paralelo aos vetores u=(1,0, 35) e v=(1,-2, 75);
(b) que passa pela origem de R^3 e que seja paralelo aos vetores i=(1,0,0) e j=(0,1,0).