Determinar uma base e a dimensão do espaço solução do seguinte sistema:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações com quatro variáveis: , , e . Nosso objetivo aqui é encontrar uma base para o espaço das soluções desse sistema e determinar a sua dimensão. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como sistemas lineares, matrizes e espaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma matricial. Isso facilita muito na hora de resolver. O sistema é:
Podemos representar isso na forma de uma matriz aumentada:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a eliminação de Gauss para simplificar a matriz. Nosso objetivo é chegar em uma forma escalonada, onde fica mais fácil identificar as soluções.
Primeiro, mantemos a primeira linha como está:
Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha para eliminar o da segunda equação:
Então, a segunda linha fica:
A matriz atualizada:
Passo 4
Agora, observamos que a terceira equação é , ou seja, . Podemos usar isso para simplificar as outras equações.
Vamos substituir na primeira e segunda equações.
Primeira equação:
Segunda equação:
Passo 5
Agora que expressamos e em termos de , podemos escrever todas as variáveis em função de :
Podemos escrever isso como:
Resposta
A base do espaço solução �� o conjunto formado pelo vetor e a dimensão desse espaço é 1.