Determinar uma base e a dimensão do espaço solução do seguinte sistema:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações com quatro variáveis: , , e . Nosso objetivo aqui é encontrar uma base para o espaço das soluções desse sistema e determinar a sua dimensão. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como sistemas lineares, matrizes e espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma matricial. Isso facilita muito na hora de resolver. O sistema é:
Podemos representar isso na forma de uma matriz aumentada:

Passo 3

Agora, vamos aplicar a eliminação de Gauss para simplificar a matriz. Nosso objetivo é chegar em uma forma escalonada, onde fica mais fácil identificar as soluções.
Primeiro, mantemos a primeira linha como está:
Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha para eliminar o da segunda equação:
Então, a segunda linha fica:
A matriz atualizada:

Passo 4

Agora, observamos que a terceira equação é , ou seja, . Podemos usar isso para simplificar as outras equações.
Vamos substituir na primeira e segunda equações.
Primeira equação:
Segunda equação:

Passo 5

Agora que expressamos e em termos de , podemos escrever todas as variáveis em função de :
Podemos escrever isso como:

Resposta

A base do espaço solução �� o conjunto formado pelo vetor e a dimensão desse espaço é 1.

Exercícios relacionados

Determine a equação reduzida, sendo a variável independente, da reta de interseção dos planos: e .
Mostre que: é uma base de sobre .
No espaço vetorial consideremos os seguintes subespaços vetoriais:
Determinar as dimensões de e .
Considere o plano gerado pelos vetores e .
(a) Mostrar que o vetor é paralelo a .
(b) Mostrar que o vetor é ortogonal a .