Determinar uma base e a dimensão do espaço solução do seguinte sistema:
S:l x-y-z-t=0 2 x+y+t=0 z-t=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações com quatro variáveis: , , e . Nosso objetivo aqui é encontrar uma base para o espaço das soluções desse sistema e determinar a sua dimensão. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como sistemas lineares, matrizes e espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma matricial. Isso facilita muito na hora de resolver. O sistema é:
x - y - z - t = 0 2x + y + t = 0 z - t = 0
Podemos representar isso na forma de uma matriz aumentada:
1 & -1 & -1 & -1 & | & 0 2 & 1 & 0 & 1 & | & 0 0 & 0 & 1 & -1 & | & 0

Passo 3

Agora, vamos aplicar a eliminação de Gauss para simplificar a matriz. Nosso objetivo é chegar em uma forma escalonada, onde fica mais fácil identificar as soluções.
Primeiro, mantemos a primeira linha como está:
1 & -1 & -1 & -1 & | & 0 2 & 1 & 0 & 1 & | & 0 0 & 0 & 1 & -1 & | & 0
Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha para eliminar o 2 - 2*1 = 0 1 - 2*(-1) = 3 0 - 2*(-1) = 2 1 - 2*(-1) = 3 da segunda equação:
0 & 3 & 2 & 3 & | & 0
Então, a segunda linha fica:
1 & -1 & -1 & -1 & | & 0 0 & 3 & 2 & 3 & | & 0 0 & 0 & 1 & -1 & | & 0
A matriz atualizada:

Passo 4

Agora, observamos que a terceira equação é x - y - t - t = 0 Rightarrow x - y - 2t = 0 Rightarrow x = y + 2t , ou seja, 3y + 2t + 3t = 0 Rightarrow 3y + 5t = 0 Rightarrow y = -53t . Podemos usar isso para simplificar as outras equações.
Vamos substituir na primeira e segunda equações.
Primeira equação:
Segunda equação:

Passo 5

Agora que expressamos x = y + 2t = -53t + 2t = 13t y = -53t z = t t = t e x y z t = t 13 -53 1 1 em termos de , podemos escrever todas as variáveis em função de :
Podemos escrever isso como:

Resposta

A base do espaço solução �� o conjunto formado pelo vetor e a dimensão desse espaço é 1.

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