Determine a distancia da reta para o plano.
r:l y=-2 x-1 z=3 x+2 pi: 3 y+2 z-2024=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar a distância entre uma reta e um plano. Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica. Para resolver isso, vamos precisar saber como encontrar a distância entre um ponto e um plano, além de entender a direção da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a reta e o plano que nos foram dados:
A reta y = -2x - 1 z = 3x + 2 é definida por:
r(x) = (x, -2x - 1, 3x + 2)
Isso significa que podemos escrever a reta em termos de um parâmetro 3y + 2z - 2024 = 0 :
A direção da reta vem dos coeficientes de , então o vetor direção da reta é .
O plano é dado por:
O vetor normal ao plano, que é perpendicular a ele, é .

Passo 3

Agora, vamos verificar se a reta e o plano são paralelos. Para isso, precisamos ver se o vetor direção da reta é perpendicular ao vetor normal do plano. Se for, significa que a reta é paralela ao plano.
Para isso, calculamos o produto escalar entre v cdot n = (1)(0) + (-2)(3) + (3)(2) = 0 - 6 + 6 = 0 e :
Como o produto escalar deu zero, isso confirma que a reta é paralela ao plano.

Passo 4

Como a reta é paralela ao plano, a distância entre eles é constante. Para encontrar essa distância, basta pegar qualquer ponto da reta e calcular a distância desse ponto até o plano.
Vamos escolher r(0) = (0, -2(0) - 1, 3(0) + 2) = (0, -1, 2) para facilitar. Substituindo na equação da reta:
Então, o ponto escolhido é .

Passo 5

Agora, usamos a fórmula da distância entre um ponto Distância = |A x0 + B y0 + C z0 + D|raizA^2 + B^2 + C^2 e um plano Distância = |0 cdot 0 + 3 cdot (-1) + 2 cdot 2 - 2024|raiz0^2 + 3^2 + 2^2 = |-3 + 4 - 2024|raiz13 = |-2023|raiz13 = 2023raiz13 :
â
No nosso caso, o plano é , então , , , e . Substituindo o ponto :
â

Resposta

A distância da reta para o plano é unidades.

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