Considere o plano pi de equação pi: x-y+z+2=0 e o ponto P=(1,1,1).
(b) Determine as coordenadas do ponto Q que é a projeção ortogonal do ponto P sobre pi;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um plano dado pela equação pi: x - y + z + 2 = 0 e um ponto P = (1, 1, 1). O que a gente precisa fazer é encontrar as coordenadas do ponto Q, que é a projeção ortogonal de P sobre o plano pi. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores normais ao plano e equações de retas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o vetor normal ao plano pi. Geralmente, na equação de um plano Ax + By + Cz + D = 0, o vetor normal é (A, B, C). Então, para o nosso plano pi: x - y + z + 2 = 0, o vetor normal é n = (1, -1, 1).

Passo 3

Agora, para encontrar a projeção ortogonal, imaginamos uma reta que passa pelo ponto P na direção do vetor normal n. A equação vetorial dessa reta é:
x = 1 + t y = 1 - t z = 1 + t
Aqui, t é um parâmetro que varia ao longo da reta.

Passo 4

Precisamos encontrar o ponto Q onde essa reta intercepta o plano pi. Para isso, substituímos as expressões de x, y e z da reta na equação do plano e resolvemos para t:
(1 + t) - (1 - t) + (1 + t) + 2 = 0
Simplificando:
1 + t - 1 + t + 1 + t + 2 = 0 3t + 3 = 0 3t = -3 t = -1

Passo 5

Com t = -1, substituímos de volta nas equações da reta para encontrar as coordenadas de Q:
x = 1 + (-1) = 0 y = 1 - (-1) = 2 z = 1 + (-1) = 0

Resposta

O ponto Q tem as coordenadas (0, 2, 0).

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Considere o plano pi de equação pi: 2 x-y+2 z+1=0 e o ponto P=(1,1,1).
© Existe algum ponto do plano pi cuja distância ao ponto P é menor que 1? Justifique.
Sejam \vec{u}, \vec{v} e \vec{w} vetores em \mathbb{R}^{3}. Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso for falsa, dê um exemplo (não genérico, isto é, com valores reais totalmente determinados) de uma terna de vetores \vec{u}, \vec{v} e \vec{w} que não satisfaz a igualdade.
(b) (\vec{u} \times \vec{v}) \times \vec{w}=\vec{u} \times(\vec{v} \times \vec{w})