Considere o plano de equação e o ponto .
(b) Determine as coordenadas do ponto que é a projeção ortogonal do ponto sobre ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um plano dado pela equação e um ponto . O que a gente precisa fazer é encontrar as coordenadas do ponto , que é a projeção ortogonal de sobre o plano . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores normais ao plano e equações de retas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o vetor normal ao plano . Geralmente, na equação de um plano , o vetor normal é . Então, para o nosso plano , o vetor normal é .
Passo 3
Agora, para encontrar a projeção ortogonal, imaginamos uma reta que passa pelo ponto na direção do vetor normal . A equação vetorial dessa reta é:
Aqui, t é um parâmetro que varia ao longo da reta.
Passo 4
Precisamos encontrar o ponto Q onde essa reta intercepta o plano pi. Para isso, substituímos as expressões de x, y e z da reta na equação do plano e resolvemos para t:
(1 + t) - (1 - t) + (1 + t) + 2 = 0
Simplificando:
1 + t - 1 + t + 1 + t + 2 = 0 3t + 3 = 0 3t = -3 t = -1
Passo 5
Com t = -1, substituímos de volta nas equações da reta para encontrar as coordenadas de Q:
x = 1 + (-1) = 0 y = 1 - (-1) = 2 z = 1 + (-1) = 0