Dados os vetores e ,
(a) calcular a área do paralelogramo determinado por e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcularmos a área do paralelogramo formado pelos vetores e . Isso está relacionado ao conteúdo de álgebra vetorial, especificamente com o produto vetorial. Para resolver isso, vamos precisar calcular o produto vetorial desses dois vetores e depois encontrar o módulo desse resultado, que nos dará a área desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o produto vetorial de dois vetores no espaço tridimensional nos dá um vetor perpendicular aos dois, e a magnitude desse vetor é igual à área do paralelogramo formado pelos vetores originais. A fórmula do produto vetorial é:
Onde i, j e k são os vetores unitários nas direções x, y e z, respectivamente.
Passo 3
Vamos aplicar essa fórmula com nossos vetores u = (3,1,2) e v = (6,2,3):
u times v = i & j & k 3 & 1 & 2 6 & 2 & 3
Calculando o determinante:
u times v = i(1 cdot 3 - 2 cdot 2) - j(3 cdot 3 - 2 cdot 6) + k(3 cdot 2 - 1 cdot 6)
Simplificando cada componente:
u times v = i(3 - 4) - j(9 - 12) + k(6 - 6)
u times v = i(-1) - j(-3) + k(0)
Então,
u times v = (-1, 3, 0)
Passo 4
Agora, para encontrar a área do paralelogramo, precisamos calcular o módulo desse vetor resultante. A fórmula do módulo de um vetor w = (w1, w2, w3) é: