Dados os vetores u=(3,1,2) e v=(6,2,3),
(a) calcular a área do paralelogramo determinado por u e v.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcularmos a área do paralelogramo formado pelos vetores u = (3,1,2) e v = (6,2,3). Isso está relacionado ao conteúdo de álgebra vetorial, especificamente com o produto vetorial. Para resolver isso, vamos precisar calcular o produto vetorial desses dois vetores e depois encontrar o módulo desse resultado, que nos dará a área desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto vetorial de dois vetores no espaço tridimensional nos dá um vetor perpendicular aos dois, e a magnitude desse vetor é igual à área do paralelogramo formado pelos vetores originais. A fórmula do produto vetorial u times v é:
u times v = i & j & k u1 & u2 & u3 v1 & v2 & v3
Onde i, j e k são os vetores unitários nas direções x, y e z, respectivamente.

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula com nossos vetores u = (3,1,2) e v = (6,2,3):
u times v = i & j & k 3 & 1 & 2 6 & 2 & 3
Calculando o determinante:
u times v = i(1 cdot 3 - 2 cdot 2) - j(3 cdot 3 - 2 cdot 6) + k(3 cdot 2 - 1 cdot 6)
Simplificando cada componente:
u times v = i(3 - 4) - j(9 - 12) + k(6 - 6)
u times v = i(-1) - j(-3) + k(0)
Então,
u times v = (-1, 3, 0)

Passo 4

Agora, para encontrar a área do paralelogramo, precisamos calcular o módulo desse vetor resultante. A fórmula do módulo de um vetor w = (w1, w2, w3) é:
|w| = raizw1^2 + w2^2 + w3^2
Aplicando isso ao nosso vetor:
|u times v| = raiz(-1)^2 + 3^2 + 0^2 = raiz1 + 9 + 0 = raiz10

Resposta

A área do paralelogramo determinado pelos vetores u e v é raiz10 unidades de área.

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