Considere o plano pi: x4+y3+z2=1 e faça o que se pede em cada item:
(b) (1,0 ponto ) Determine o volume do sólido limitado pelo plano pi e pelos eixos coordenados.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão tá pedindo é pra gente encontrar o volume do sólido que é limitado pelo plano dado e pelos eixos coordenados. A gente vai usar geometria analítica para resolver esse problema, especificamente encontrando os interceptos do plano com os eixos e depois calculando o volume desse tetraedro formado.

Passo 2

Primeiro, vamos achar onde o plano x4 = 1 implies x = 4 intercepta cada um dos eixos coordenados. Isso significa resolver y3 = 1 implies y = 3 quando duas das variáveis são zero.
  • Intercepto com o eixo z2 = 1 implies z = 2 : Colocamos e na equação do plano:
    Então, o intercepto com o eixo é o ponto .
  • Intercepto com o eixo : Colocamos e :
    O intercepto com o eixo é o ponto .
  • Intercepto com o eixo : Colocamos e :
    O intercepto com o eixo é o ponto .

Passo 3

Agora que temos os interceptos com os três eixos, sabemos que o sólido formado é um tetraedro cujos vértices são Volume = 16 times (intercepto x) times (intercepto y) times (intercepto z) , , e .
Para calcular o volume desse tetraedro, usamos a fórmula do volume de um tetraedro formado pelos interceptos com os eixos:
Isso funciona porque estamos basicamente calculando o volume de um paralelepípedo formado pelos interceptos e dividindo por 6 para obter o tetraedro.

Passo 4

Vamos substituir os valores dos interceptos na fórmula:
Volume = 16 times 4 times 3 times 2
Calculando:
4 times 3 = 12 12 times 2 = 24 246 = 4

Resposta

O volume do sólido limitado pelo plano e pelos eixos coordenados é unidades cúbicas.

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