Considere o plano
e faça o que se pede em cada item:
(b)
ponto
Determine o volume do sólido limitado pelo plano
e pelos eixos coordenados.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão tá pedindo é pra gente encontrar o volume do sólido que é limitado pelo plano dado
e pelos eixos coordenados. A gente vai usar geometria analítica para resolver esse problema, especificamente encontrando os interceptos do plano com os eixos e depois calculando o volume desse tetraedro formado.
Passo 2
Primeiro, vamos achar onde o plano
intercepta cada um dos eixos coordenados. Isso significa resolver
quando duas das variáveis são zero.
-
Intercepto com o eixo
: Colocamos e na equação do plano: Então, o intercepto com o eixoé o ponto . -
Intercepto com o eixo
: Colocamos e : O intercepto com o eixoé o ponto . -
Intercepto com o eixo
: Colocamos e : O intercepto com o eixoé o ponto .
Passo 3
Agora que temos os interceptos com os três eixos, sabemos que o sólido formado é um tetraedro cujos vértices são
,
,
e
.
Para calcular o volume desse tetraedro, usamos a fórmula do volume de um tetraedro formado pelos interceptos com os eixos:
Isso funciona porque estamos basicamente calculando o volume de um paralelepípedo formado pelos interceptos e dividindo por 6 para obter o tetraedro.
Passo 4
Vamos substituir os valores dos interceptos na fórmula:
Calculando:
Resposta
O volume do sólido limitado pelo plano
e pelos eixos coordenados é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Calcule a distância entre os pontos:
e
Identifique as quádricas representada por cada uma das equações a seguir. Construa o gráfico.
(b)
determine a distância do ponto
ao plano
encontrado na letra a)
Considere o plano
e faça o que se pede em cada item:
(a) ponto) Faça um esboço do gráfico do plano
Figura 1: ESBOÇO
(a)
Figura 1: ESBOÇO