Identifique as quádricas representada por cada uma das equações a seguir. Construa o gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir que tipo de quádricas está representada pela equação
e fazer o gráfico dela. Isso envolve entender as quádricas, que são figuras geométricas definidas por equações de segundo grau nas variáveis
e
. Para resolver, vamos precisar rearranjar a equação para a forma padrão das quádricas e identificar de qual tipo estamos falando.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação
na forma padrão. A forma padrão ajuda a identificar facilmente que tipo de quádricas estamos lidando. Então, dividimos todos os termos por 16 para isolar o 1 no lado direito:
Simplificando os denominadores:
Passo 3
Agora que temos a equação na forma
, podemos identificar que isso corresponde à equação geral de uma hipérbole. Nesse caso,
e
, então
e
.
Passo 4
Para desenhar o gráfico, vamos lembrar que uma hipérbole com a equação
tem dois ramos que se abrem para a direita e para a esquerda. Os vértices estão localizados a uma distância
do centro na direção do eixo
. Como
, os vértices estão em
e
.
Passo 5
Também precisamos encontrar os assíntotas, que são linhas que a hipérbole se aproxima mas nunca toca. As equações das assíntotas para essa hipérbole são dadas por:
Essas linhas passam pela origem e têm inclinações positivas e negativas.
Passo 6
Com todas essas informações, podemos desenhar o gráfico da hipérbole. Plotamos os vértices em
e
, desenhamos as assíntotas
e
, e então traçamos os ramos da hipérbole que se aproximam dessas assíntotas.
Resposta
A equação
representa uma hipérbole com vértices em
e
e assíntotas dadas por
e
.
Exercícios relacionados
Faça o esboço do gráfico e escreva a equação de cada uma das parábolas, sabendo que: O foco
e a diretriz
Determine se os seguintes conjuntos são subespaços de
. Justifique sua resposta.
onde
Calcule a distância entre os pontos:
e
Considere o plano
e faça o que se pede em cada item:
(b) ponto
Determine o volume do sólido limitado pelo plano
e pelos eixos coordenados.
(b)