pontos Dado o plano definido a partir dos pontos , , faça o que se pede em cada item:
(b) pontos)Sabendo que a distância de um ponto ao plano é calculada pela fórmula:
determine a distância do ponto ao plano encontrado na letra a)
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente precisa aqui. A gente tem um plano definido por três pontos: , e . E a missão é descobrir a distância do ponto até esse plano . Para isso, vamos precisar saber a equação geral do plano e depois usar a fórmula da distância de um ponto até o plano. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação geral do plano . Sabemos que qualquer plano pode ser descrito por uma equação do tipo:
Para encontrar os coeficientes , , e , precisamos de um vetor normal ao plano, que é perpendicular a ele. Podemos achar esse vetor normal calculando o produto vetorial de dois vetores que estão no plano.
Vamos considerar os vetores e :
Agora, calculamos o produto vetorial :
Então, o vetor normal é . Podemos simplificar dividindo por , ficando .
Agora, usando o ponto e o vetor normal, a equação do plano fica:
Expandindo:
Então, a equação do plano é:
Passo 3
Agora que temos a equação do plano : , vamos usar a fórmula da distância de um ponto até o plano , que é:
Aqui, os coeficientes são: , , e . E o ponto dado é , então , , .
Passo 4
Vamos substituir os valores na fórmula:
Para simplificar, podemos racionalizar o denominador:
Resposta
A distância do ponto ao plano é unidades, aproximadamente .