pontos Dado o plano definido a partir dos pontos , , faça o que se pede em cada item:
(b) pontos)Sabendo que a distância de um ponto ao plano é calculada pela fórmula:
determine a distância do ponto ao plano encontrado na letra a)
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente precisa aqui. A gente tem um plano definido por três pontos: , e . E a missão é descobrir a distância do ponto até esse plano . Para isso, vamos precisar saber a equação geral do plano e depois usar a fórmula da distância de um ponto até o plano. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação geral do plano . Sabemos que qualquer plano pode ser descrito por uma equação do tipo:
Para encontrar os coeficientes , , e , precisamos de um vetor normal ao plano, que é perpendicular a ele. Podemos achar esse vetor normal calculando o produto vetorial de dois vetores que estão no plano.
Vamos considerar os vetores e :
Agora, calculamos o produto vetorial :
= i(-2 - 10) - j(4 - 10) + k(-4 - 2)
= -12,i + 6,j -6,k
Então, o vetor normal é n = (-12, 6, -6). Podemos simplificar dividindo por -6, ficando n = (2, -1, 1).
Agora, usando o ponto A(2,-2,3) e o vetor normal, a equação do plano fica:
2(x - 2) -1(y + 2) +1(z - 3) = 0
Expandindo:
2x -4 - y -2 + z -3 = 0 Rightarrow 2x - y + z -9 = 0
Então, a equação do plano pi é:
2x - y + z -9 = 0
Passo 3
Agora que temos a equação do plano pi: 2x - y + z -9 = 0, vamos usar a fórmula da distância de um ponto (x0, y0, z0) até o plano A x + B y + C z + D = 0, que é:
D = |A x0 + B y0 + C z0 + D|raizA^2 + B^2 + C^2
Aqui, os coeficientes são: A = 2, B = -1, C = 1 e D = -9. E o ponto dado é P(3,2,6), então x0 = 3, y0 = 2, z0 = 6.