(2,0 pontos ) Dado o plano pi definido a partir dos pontos A(2,-2,3), B(4,-3,-2), C(0,-4,5), faça o que se pede em cada item:
(b) (0,5 pontos)Sabendo que a distância de um ponto P(x0, y0, z0) ao plano pi: A x+B y+C z+D=0 é calculada pela fórmula:
D=|A x0+B y0+C z0+D|raizA^2+B^2+C^2
determine a distância do ponto P(3,2,6) ao plano pi encontrado na letra a)

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente precisa aqui. A gente tem um plano pi definido por três pontos: A(2,-2,3), B(4,-3,-2) e C(0,-4,5). E a missão é descobrir a distância do ponto P(3,2,6) até esse plano pi. Para isso, vamos precisar saber a equação geral do plano e depois usar a fórmula da distância de um ponto até o plano. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação geral do plano pi. Sabemos que qualquer plano pode ser descrito por uma equação do tipo:
A x + B y + C z + D = 0
Para encontrar os coeficientes A, B, C e D, precisamos de um vetor normal ao plano, que é perpendicular a ele. Podemos achar esse vetor normal calculando o produto vetorial de dois vetores que estão no plano.
Vamos considerar os vetores AB e AC:
AB = B - A = (4-2, -3-(-2), -2-3) = (2, -1, -5)
AC = C - A = (0-2, -4-(-2), 5-3) = (-2, -2, 2)
Agora, calculamos o produto vetorial AB times AC:
AB times AC = i & j & k 2 & -1 & -5 -2 & -2 & 2 = i((-1)(2) - (-5)(-2)) - j((2)(2) - (-5)(-2)) + k((2)(-2) - (-1)(-2))
= i(-2 - 10) - j(4 - 10) + k(-4 - 2)
= -12,i + 6,j -6,k
Então, o vetor normal é n = (-12, 6, -6). Podemos simplificar dividindo por -6, ficando n = (2, -1, 1).
Agora, usando o ponto A(2,-2,3) e o vetor normal, a equação do plano fica:
2(x - 2) -1(y + 2) +1(z - 3) = 0
Expandindo:
2x -4 - y -2 + z -3 = 0 Rightarrow 2x - y + z -9 = 0
Então, a equação do plano pi é:
2x - y + z -9 = 0

Passo 3

Agora que temos a equação do plano pi: 2x - y + z -9 = 0, vamos usar a fórmula da distância de um ponto (x0, y0, z0) até o plano A x + B y + C z + D = 0, que é:
D = |A x0 + B y0 + C z0 + D|raizA^2 + B^2 + C^2
Aqui, os coeficientes são: A = 2, B = -1, C = 1 e D = -9. E o ponto dado é P(3,2,6), então x0 = 3, y0 = 2, z0 = 6.

Passo 4

Vamos substituir os valores na fórmula:
D = |2(3) + (-1)(2) +1(6) -9|raiz2^2 + (-1)^2 +1^2 = |6 -2 +6 -9|raiz4 +1 +1 = |1|raiz6 = 1raiz6
Para simplificar, podemos racionalizar o denominador:
D = raiz66 approx 0,408 unidades

Resposta

A distância do ponto P(3,2,6) ao plano pi é raiz66 unidades, aproximadamente 0,408.

Exercícios relacionados