Considere o plano pi: x4+y3+z2=1 e faça o que se pede em cada item:
(a) (1,0 ponto) Faça um esboço do gráfico do plano pi
Figura 1: ESBOÇO

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa fazer um esboço do plano pi que é definido pela equação x4 + y3 + z2 = 1. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos no espaço tridimensional. O que vamos precisar é encontrar os interceptos desse plano com os eixos x, y e z, ou seja, onde o plano corta cada um desses eixos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o intercepto com o eixo x. Para isso, a gente considera que os valores de y e z são zero. Então, substituímos y = 0 e z = 0 na equação do plano e resolvemos para x.

Passo 3

Encontrando o intercepto com o eixo x:
x4 + 03 + 02 = 1 x4 = 1 x = 4
Então, o ponto de intercepto com o eixo x é (4, 0, 0).

Passo 4

Agora, vamos encontrar o intercepto com o eixo y. Aqui, os valores de x e z serão zero. Substituímos x = 0 e z = 0 na equação do plano e resolvemos para y.

Passo 5

Encontrando o intercepto com o eixo y:
04 + y3 + 02 = 1 y3 = 1 y = 3
Então, o ponto de intercepto com o eixo y é (0, 3, 0).

Passo 6

Finalmente, vamos encontrar o intercepto com o eixo z. Aqui, os valores de x e y serão zero. Substituímos x = 0 e y = 0 na equação do plano e resolvemos para z.

Passo 7

Encontrando o intercepto com o eixo z:
04 + 03 + z2 = 1 z2 = 1 z = 2
Então, o ponto de intercepto com o eixo z é (0, 0, 2).

Passo 8

Com os três pontos de intercepto identificados:
  • (4, 0, 0) no eixo x
  • (0, 3, 0) no eixo y
  • (0, 0, 2) no eixo z
Podemos esboçar o plano pi conectando esses pontos no espaço tridimensional. Esses pontos nos dão uma boa referência para desenhar o plano de forma precisa.

Resposta

O esboço do plano pi é um triângulo formado pelos pontos (4, 0, 0), (0, 3, 0) e (0, 0, 2), conectando esses interceptos nos eixos x, y e z, respectivamente, conforme mostrado na Figura 1.

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