Considere o plano pi: x+y-z=3 :
a) Determine uma equação paramétrica da reta que é perpendicular a pi e passa pelo ponto (1,1,1)
b) Determine a equação cartesiana do plano paralelo a pi que passa pelo ponto (1,2,-1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada envolve Geometria Analítica, especificamente sobre planos e retas no espaço. Precisamos achar:
a) Uma equação paramétrica de uma reta que é perpendicular ao plano pi: x + y - z = 3 e que passa pelo ponto (1,1,1).
b) Uma equação cartesiana de um plano paralelo a pi que passa pelo ponto (1,2,-1).
Para isso, vamos usar conceitos de vetores normais e propriedades de planos e retas no espaço tridimensional.

Passo 2

Vamos começar pela parte a): determinar a equação paramétrica da reta perpendicular ao plano pi e que passa pelo ponto (1,1,1).
Primeiro, precisamos lembrar que a reta perpendicular a um plano tem como direção o vetor normal do plano. O vetor normal de um plano é o vetor cujas componentes são os coeficientes de x, y e z na equação do plano.
No nosso caso, a equação do plano é pi: x + y - z = 3. Então, o vetor normal n é:
n = 1 1 -1
Agora, a equação paramétrica de uma reta é dada por:
x = x0 + at y = y0 + bt z = z0 + ct
onde (x0, y0, z0) é um ponto pela qual a reta passa e (a, b, c) são as direções da reta, ou seja, as componentes do vetor diretor.
Como a reta é perpendicular ao plano, escolhemos o vetor diretor igual ao vetor normal n. E como a reta passa pelo ponto (1,1,1), temos:
x = 1 + 1 cdot t y = 1 + 1 cdot t z = 1 - 1 cdot t

Passo 3

Agora, vamos para a parte b): determinar a equação cartesiana do plano paralelo a pi que passa pelo ponto (1,2,-1).
Primeiro, sabemos que dois planos são paralelos se eles têm o mesmo vetor normal. Já que o plano pi tem o vetor normal n = (1,1,-1), o plano paralelo também terá esse vetor normal.
A equação geral de um plano é dada por:
Ax + By + Cz + D = 0
onde (A,B,C) são as componentes do vetor normal.
Então, para o nosso novo plano paralelo, a equação será:
x + y - z + D = 0
Agora, precisamos encontrar o valor de D. Para isso, usamos o ponto (1,2,-1) que está no plano. Substituindo as coordenadas desse ponto na equação:
1 + 2 - (-1) + D = 0 1 + 2 + 1 + D = 0 4 + D = 0 D = -4
Então, a equação do plano paralelo é:
x + y - z - 4 = 0

Resposta

a) A equação paramétrica da reta é:
x = 1 + t y = 1 + t z = 1 - t
b) A equação cartesiana do plano paralelo é:
x + y - z = 4

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