Considere o plano :
a) Determine uma equação paramétrica da reta que é perpendicular a e passa pelo ponto
b) Determine a equação cartesiana do plano paralelo a que passa pelo ponto .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada envolve Geometria Analítica, especificamente sobre planos e retas no espaço. Precisamos achar:
a) Uma equação paramétrica de uma reta que é perpendicular ao plano e que passa pelo ponto .
b) Uma equação cartesiana de um plano paralelo a que passa pelo ponto .
Para isso, vamos usar conceitos de vetores normais e propriedades de planos e retas no espaço tridimensional.
Passo 2
Vamos começar pela parte a): determinar a equação paramétrica da reta perpendicular ao plano e que passa pelo ponto .
Primeiro, precisamos lembrar que a reta perpendicular a um plano tem como direção o vetor normal do plano. O vetor normal de um plano é o vetor cujas componentes são os coeficientes de , e na equação do plano.
No nosso caso, a equação do plano é . Então, o vetor normal é:
Agora, a equação paramétrica de uma reta é dada por:
onde é um ponto pela qual a reta passa e são as direções da reta, ou seja, as componentes do vetor diretor.
Como a reta é perpendicular ao plano, escolhemos o vetor diretor igual ao vetor normal . E como a reta passa pelo ponto , temos:
Passo 3
Agora, vamos para a parte b): determinar a equação cartesiana do plano paralelo a que passa pelo ponto .
Primeiro, sabemos que dois planos são paralelos se eles têm o mesmo vetor normal. Já que o plano tem o vetor normal , o plano paralelo também terá esse vetor normal.
A equação geral de um plano é dada por:
onde são as componentes do vetor normal.
Então, para o nosso novo plano paralelo, a equação será:
Agora, precisamos encontrar o valor de . Para isso, usamos o ponto que está no plano. Substituindo as coordenadas desse ponto na equação: