Seja o plano pi que contém o ponto A(3,7,1) e é paralelo aos vetores u=(1,1,1) e v=(1,1,0) :
a) obtenha a equação vetorial do plano;
b) obtenha as equações paramétricas
c) verifique se o ponto (1,2,2) pertence ao plano;
d) verifique se o vetor w=(2,2,5) é paralelo a pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um plano que passa pelo ponto e é paralelo aos vetores e . Vamos precisar usar conceitos de vetores e equações de planos na geometria analítica. Para isso, vamos lembrar como encontrar a equação vetorial de um plano e como trabalhar com equações paramétricas. Vamos às questões:
a) Encontrar a equação vetorial do plano.
b) Obter as equações paramétricas.
c) Verificar se o ponto está no plano.
d) Verificar se o vetor é paralelo ao plano.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a equação vetorial de um plano pode ser escrita usando um ponto que está no plano e dois vetores que são paralelos ao plano. No nosso caso, já temos o ponto r = A + su + tv e os vetores e . A equação vetorial fica assim:
Onde e são parâmetros reais.

Passo 3

Agora, vamos para as equações paramétricas. A equação vetorial que escrevemos pode ser decomposta em três equações separadas, uma para cada coordenada. Vamos fazer isso:
Dado x = 3 + s cdot 1 + t cdot 1 y = 7 + s cdot 1 + t cdot 1 z = 1 + s cdot 1 + t cdot 0 , x = 3 + s + t y = 7 + s + t z = 1 + s e ,
As equações paramétricas são:
Ou simplificando:

Passo 4

Para verificar se o ponto 1 = 3 + s + t 2 = 7 + s + t 2 = 1 + s pertence ao plano, vamos substituir as coordenadas desse ponto nas equações paramétricas e ver se conseguimos encontrar valores de e que satisfaçam todas as equações.
Temos:
Da terceira equação, , então .
Substituindo na primeira equação:
Agora, vamos verificar na segunda equação:
→ Não é verdade.
Como as equações não são todas satisfeitas, o ponto não pertence ao plano.

Passo 5

Para verificar se o vetor w = su + tv é paralelo ao plano, precisamos checar se ele pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores (2,2,5) = s(1,1,1) + t(1,1,0) = (s + t, s + t, s) e 2 = s + t 2 = s + t 5 = s . Ou seja, existem números e tais que:
Substituindo os valores:
Assim, temos o sistema:
Da terceira equação, .
Substituindo na primeira equação:
Vamos verificar na segunda equação:
→ Ok.
Então, conseguimos expressar como uma combinação linear de e , ou seja, é paralelo ao plano.

Resposta

a) Equação vetorial do plano:
r = (3,7,1) + s(1,1,1) + t(1,1,0)
b) Equações paramétricas:
x = 3 + s + t y = 7 + s + t z = 1 + s
c) O ponto não pertence ao plano.
d) O vetor é paralelo ao plano.

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