Seja o plano que contém o ponto e é paralelo aos vetores e :
a) obtenha a equação vetorial do plano;
b) obtenha as equações paramétricas
c) verifique se o ponto pertence ao plano;
d) verifique se o vetor é paralelo a .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um plano que passa pelo ponto e é paralelo aos vetores e . Vamos precisar usar conceitos de vetores e equações de planos na geometria analítica. Para isso, vamos lembrar como encontrar a equação vetorial de um plano e como trabalhar com equações paramétricas. Vamos às questões:
a) Encontrar a equação vetorial do plano.
b) Obter as equações paramétricas.
c) Verificar se o ponto está no plano.
d) Verificar se o vetor é paralelo ao plano.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a equação vetorial de um plano pode ser escrita usando um ponto que está no plano e dois vetores que são paralelos ao plano. No nosso caso, já temos o ponto e os vetores e . A equação vetorial fica assim:
Onde e são parâmetros reais.

Passo 3

Agora, vamos para as equações paramétricas. A equação vetorial que escrevemos pode ser decomposta em três equações separadas, uma para cada coordenada. Vamos fazer isso:
Dado , e ,
As equações paramétricas são:
Ou simplificando:

Passo 4

Para verificar se o ponto pertence ao plano, vamos substituir as coordenadas desse ponto nas equações paramétricas e ver se conseguimos encontrar valores de e que satisfaçam todas as equações.
Temos:
Da terceira equação, , então .
Substituindo na primeira equação:
Agora, vamos verificar na segunda equação:
→ Não é verdade.
Como as equações não são todas satisfeitas, o ponto não pertence ao plano.

Passo 5

Para verificar se o vetor é paralelo ao plano, precisamos checar se ele pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores e . Ou seja, existem números e tais que:
Substituindo os valores:
Assim, temos o sistema:
Da terceira equação, .
Substituindo na primeira equação:
Vamos verificar na segunda equação:
→ Ok.
Então, conseguimos expressar como uma combinação linear de e , ou seja, é paralelo ao plano.

Resposta

a) Equação vetorial do plano:
b) Equações paramétricas:
c) O ponto não pertence ao plano.
d) O vetor é paralelo ao plano.

Exercícios relacionados

Para cada um dos sistemas lineares:
(I)
(b) Escreva cada sistema linear como um produto de matrizes, isto é, .
Considere o plano :
a) Determine uma equação paramétrica da reta que é perpendicular a e passa pelo ponto
b) Determine a equação cartesiana do plano paralelo a que passa pelo ponto .
Determine a equação cartesiana do plano que passa pelo ponto e é perpendicular ao vetor . Determine o valor de para o caso em que e .
Determine a posição relativa entre os planos:
a) e ;
b) e .