Determinar o vetor v, ortogonal ao eixo O y, v cdot v1=8 e v cdot v2=-3, sendo v1=(3,1,-2) e v2=(-1,1,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o vetor v que é ortogonal ao eixo O y, ou seja, perpendicular a esse eixo. Além disso, esse vetor v precisa satisfazer duas condições de produto escalar: v cdot v1=8 e v cdot v2=-3, onde v1=(3,1,-2) e v2=(-1,1,1). Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como ortogonalidade e produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa v ser ortogonal ao eixo O y. O eixo O y é representado pelo vetor (0,1,0). Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero. Então, temos:
v cdot (0,1,0) = 0
Isso simplifica para:
0 cdot vx + 1 cdot vy + 0 cdot vz = 0 vy = 0
Então, sabemos que a componente y de v é zero.

Passo 3

Agora, vamos considerar v como (vx, 0, vz). Precisamos satisfazer as duas condições de produto escalar dadas:
  1. v cdot v1 = 8:
(vx)(3) + (0)(1) + (vz)(-2) = 8 3vx - 2vz = 8 (Equação 1) çã
  1. v cdot v2 = -3:
(vx)(-1) + (0)(1) + (vz)(1) = -3 - vx + vz = -3 (Equação 2) çã

Passo 4

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas ( vx e vz):
3vx - 2vz = 8 (1) - vx + vz = -3 (2)
Vamos resolver esse sistema. Podemos, por exemplo, resolver a Equação (2) para vz:
- vx + vz = -3 vz = vx - 3

Passo 5

Substituímos vz na Equação (1):
3vx - 2(vx - 3) = 8 3vx - 2vx + 6 = 8 vx + 6 = 8 vx = 8 - 6 vx = 2
Agora que temos vx = 2, podemos encontrar vz usando a expressão que encontramos:
vz = vx - 3 vz = 2 - 3 vz = -1

Passo 6

Então, encontramos que vx = 2, vy = 0 e vz = -1. Portanto, o vetor v é:
v = (2, 0, -1)

Resposta

O vetor buscado é v = (2, 0, -1).

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