Determinar o vetor
, ortogonal ao eixo
e
, sendo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o vetor
que é ortogonal ao eixo
, ou seja, perpendicular a esse eixo. Além disso, esse vetor
precisa satisfazer duas condições de produto escalar:
e
, onde
e
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como ortogonalidade e produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
ser ortogonal ao eixo
. O eixo
é representado pelo vetor
. Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero. Então, temos:
Isso simplifica para:
Então, sabemos que a componente
de
é zero.
Passo 3
Agora, vamos considerar
como
. Precisamos satisfazer as duas condições de produto escalar dadas:
-
:
-
:
Passo 4
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas (
e
):
Vamos resolver esse sistema. Podemos, por exemplo, resolver a Equação (2) para
:
Passo 5
Substituímos
na Equação (1):
Agora que temos
, podemos encontrar
usando a expressão que encontramos:
Passo 6
Então, encontramos que
,
e
. Portanto, o vetor
é:
Resposta
O vetor buscado é
.