Determinar o vetor , ortogonal ao eixo e , sendo .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o vetor que é ortogonal ao eixo , ou seja, perpendicular a esse eixo. Além disso, esse vetor precisa satisfazer duas condições de produto escalar: e , onde e . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como ortogonalidade e produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ser ortogonal ao eixo . O eixo é representado pelo vetor . Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero. Então, temos:
Isso simplifica para:
Então, sabemos que a componente de é zero.

Passo 3

Agora, vamos considerar como . Precisamos satisfazer as duas condições de produto escalar dadas:
  1. :
çã
  1. :
çã

Passo 4

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas ( e ):
Vamos resolver esse sistema. Podemos, por exemplo, resolver a Equação (2) para :

Passo 5

Substituímos na Equação (1):
Agora que temos , podemos encontrar usando a expressão que encontramos:

Passo 6

Então, encontramos que , e . Portanto, o vetor é:

Resposta

O vetor buscado é .

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Encontre a transformação linear que faz a rotação de , no sentido anti-horário para cada vetor
Encontre a transformação linear que faz a projeção de cada vetor sobre a reta .
Determine a posição relativa entre a reta e o plano dados:
a) e
b) e
c)
Considere o plano :
a) Determine uma equação paramétrica da reta que é perpendicular a e passa pelo ponto
b) Determine a equação cartesiana do plano paralelo a que passa pelo ponto .