Determinar o vetor , ortogonal ao eixo e , sendo .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o vetor que é ortogonal ao eixo , ou seja, perpendicular a esse eixo. Além disso, esse vetor precisa satisfazer duas condições de produto escalar: e , onde e . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como ortogonalidade e produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ser ortogonal ao eixo . O eixo é representado pelo vetor . Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero. Então, temos:
Isso simplifica para:
Então, sabemos que a componente de é zero.
Passo 3
Agora, vamos considerar como . Precisamos satisfazer as duas condições de produto escalar dadas:
:
:
Passo 4
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas ( e ):
Vamos resolver esse sistema. Podemos, por exemplo, resolver a Equação (2) para :
Passo 5
Substituímos na Equação (1):
Agora que temos , podemos encontrar usando a expressão que encontramos: